第12讲 立方根（教师版）-新七年级数学暑假讲义（浙教版）.docxVIP

专注：心无旁骛，万事可破

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专注：心无旁骛，万事可破

第12讲立方根

一、立方根的定义

如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.

要点：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.

二、立方根的特征

立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

要点：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.

三、立方根的性质

要点：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.

四、立方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.

例1．填空：

（1）一个数的平方等于它本身，这个数是________；一个数的平方根等于它本身，这个数是________；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是________．

（2）一个数的立方等于它本身，这个数是________；一个数的立方根等于它本身，这个数是________．

【答案】????0或1????0????0或1????0或????0或

【解析】

【分析】

平方表示两个相同因数的相乘；平方根，又叫二次方根，一个正数有两个实数平方根，它们互为相反数，负数没有平方根；正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根；

立方表示指数为3的乘方运算即表示三个相同数的乘积；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根．也就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．

根据特殊数的平方、平方根、算术平方根、立方、立方根，对各空填写即可．

解：（1）一个数的平方等于它本身，这个数是0或1；

一个数的平方根等于它本身，这个数是0；

一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0或1；

（2）一个数的立方等于它本身，这个数是0或；

一个数的立方根等于它本身，这个数是0或．

故答案为：0，1；0；0或1；0或；0或．

【点睛】

本题是对平方，平方根，算术平方根，立方根的考查，熟记一些特殊数的性质是解题的关键．

例1．计算：（1）______；???（2）_______；???（3）_______；（4）______；???????（5）______；???（6）______；（7）______．

【答案】????3????????????????30????????2.3

【解析】

【分析】

（1）直接利用立方根的定义即可求解；

（2）直接利用立方根的定义即可求解；

（3）直接利用立方根的定义即可求解；

（4）直接利用立方根的定义即可求解；

（5）直接利用立方根的定义即可求解；

（6）利用算术平方根和立方根的定义即可求解；

（7）利用算术平方根和立方根的定义即可求解．

解：（1）∵，

∴；

（2）∵，

∴；

（3）∵，

∴，即；

（4）

∵，

∴，即；

（5），

∵，

∴；

（6）；

（7）．

故答案为：3，，，，30，，2.3．

【点睛】

本题考查立方根和算术平方根．熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解题关键．

例1．下列说法正确的是（???????）．

A．是125的立方根 B．64的立方根是

C．是15.625的立方根 D．的立方根是

【答案】D

【解析】

【分析】

利用立方根的定义和性质依次判断即可；

解：A．是125的立方根，原选项计算错误；

B.64的立方根是，原选项计算错误；

C.是15.625的立方根，原选项计算错误；

D.的立方根是，原选项计算正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查立方根．一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．

例1．下列等式正确的是（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据负数的立方根转化为正数的立方根计算可判断A，把带分数化为假分数，再根据分数的立方根可判断B，根据负数立方根转化为正数立方根计算可判断C，根据立方根定义可判断D．

解：A.，故选项A正确；

B.，故选项B不正确；

C.，故选项C不正确；

D.，故选项D不正确．

故选择A．

【点睛】

本题考查立方根的计算，掌握立方根的求法与性质是解题关键．

例1．的立方根与的平方根之和是（???????）．

A．6或 B．0或 C．6或 D