第三章直线与方程知识点总结与题型.docx

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第三章：直线与方程的知识点

倾斜角与斜率

当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.则直线l的倾斜角?的范围是0????.

倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即k?tan?.如

果知道直线上两点

P(x,y),P(x,y

)，则有斜率公式k?

y?y

22 1

2

.特别地是，当x

?x，

1 1 2 2

x?x 1 2

1y?y

1

时，直线与

x轴垂直，斜率k不存在；当x

?x，

1

y?y

时，直线与y轴垂直，

斜率2k=0.

1 2 1 2

注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合.

当α=90°时，斜率k=0；当0????90?时，斜率k?0，随着α的增大，斜率k也增大；当90????180?时，斜率k?0，随着α的增大，斜率k也增大.这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.

两条直线平行与垂直的判定

对于两条不重合的直线l

1

、l，其斜率分别为k

2 1

、k，有：

2

（1）l

1

//l?k

2 1

?k；（2）l

2 1

?l?k?k

2 1 2

??1.

特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，

都垂直于x轴；….

直线的点斜式方程

00点斜式：直线l过点P(x,y),且斜率为k，其方程为y?y

0

0

?k(x?x).

00 0

0

斜截式：直线l的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程

为y?kx?b.

点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线.若直线l过点P(x,y)且与x轴垂直,

0 0 0

此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直

线方程为x?x

0

?0，或x?x.

0

0?k注意：y?

0?k

x?x

00

0

与y?y

0

?k(x?x)

0

是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点

0 0P(x,

0 0

)，后者才是整条直线.

直线的两点式方程

两点式：直线l

经过两点

P(x,y),P(x,y

)，其方程为

y?y

1

x?x

，? 1

，

1 1 1

2 2 2

y?y

2 1

x?x

2 1

截距式：直线l在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为x?y?1.

a b

两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的

直线.

线段PP

中点坐标公式(x?x

y?y

.1 2)

.

12,12 2 2

1

2,

直线的一般式方程

一般式：Ax?By?C?0，注意A、B不同时为0.直线一般式方程

Ax?By?C?0(B?0)化为斜截式方程y??Ax?C

B B

，表示斜率为?A，y轴上截距为?C

B B

的直线.

与直线l:Ax?By?C?0平行的直线，可设所求方程为 Ax?By?C

1

?0；与直线

Ax?By?C?0垂直的直线，可设所求方程为Bx?Ay?C

1

?0.

已知直线l,l

的方程分别是：l

:Ax?By?C

?0（A,B

不同时为0），

1 2 1 1 1 1 1 1

22 2l:Ax?

2

2 2

y?C

?0（A,B

不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：

2（1）l?l

2

2

?AA

2

BB

?0； （2）l

//l

?AB

AB

?0,AC

AB

?0；

1 2 12 12

1 2 12 21

1 2 21

（3）l与l

重合?AB

AB

?0,AC

AB

?0；（4）l与l

相交?AB

AB

?0.

A1 2 12 21

A

1 2 21

1 2 12 21

1如果ABC

1

?0时，则l

//l

? 1?B

? 1；l与l

重合?

A B