新教材人教A版选择性必修第一册 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的垂直 学案.pdf

第2课时空间中直线、平面的垂直

素养目标·定方向

课程标准学法解读

1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平

1．理解直线的方向向量和平面的法向面与平面的垂直关系．(数学抽象)

量．2．能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂

2．能用向量语言表述直线与直线、直直关系的判定定理．(逻辑推理)

线与平面、平面与平面的垂直关系．3．能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关

系．(逻辑推理)

必备知识·探新知

知识点空间中垂直关系的向量表示

设直线l，l的方向向量分别为u，u，平面α，β的法向量分别为n，n，则

121212

线线垂直l⊥l⇔__u⊥u__⇔__uu·＝0__

121212

线面垂直l⊥α⇔__u∥n__⇔__∃λ∈R，u＝λn__

11111

面面垂直α⊥β⇔__n⊥n__⇔__nn·＝0__

1212

思考：怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系？

提示：(1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直；

(2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行；

(3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直．

关键能力·攻重难

题型探究

题型一利用向量方法证明线线垂直

典例1如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是

矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上

的何处，都有PE⊥AF．

[分析]只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可．

[证明]方法1：以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立

11

空间直角坐标系，设AD＝a，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，C(a,1,0)，于是F0，，．

22

∵E在BC上，

∴设E(m,1,0)，

→

∴PE＝(m,1，－1)，

→11

AF＝0，，．

22

→→

∵PEAF·＝0，∴PE⊥AF．

∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF．

→→

方法2：因为点E在边BC上，可设BE＝λBC，

→→→→→1→→

于是PE＝(PA＋AB＋BE＋AB