清华大学微积分高等数学课件第1讲函数.pptxVIP

清华大学微积分高等数学课件第1讲函数函数概念与性质基本初等函数函数的极限与连续性微分学基本概念与运算微分中值定理及其应用不定积分与定积分初步contents目录01函数概念与性质函数定义及表示方法第一季度第三季度第四季度第二季度函数定义解析法列表法图象法设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个数集。如果存在一种对应法则$f$，使得对于$D$中的每一个$x$，按照某种对应法则$f$，在数集中都有唯一确定的$y$与之对应，则称$f$为从$D$到数集的一种函数关系，记作$y=f(x)$，其中$x$称为自变量，$y$称为因变量，$f$称为对应法则。用含有数学表达式的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析法。用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。把一个函数的自变量$x$与对应的因变量$y$的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。函数性质：单调性、奇偶性、周期性单调性函数的单调性是指函数在某一区间内函数值随自变量增大而增大（或减小）的性质。奇偶性函数的奇偶性是指函数在整个定义域内，对于任意自变量$x$，都有$f(-x)=-f(x)$（奇函数）或$f(-x)=f(x)$（偶函数）的性质。周期性函数的周期性是指函数在某个特定的非零周期长度内重复出现的性质。反函数与复合函数反函数设函数$y=f(x)$的定义域是$D$，值域是$f(D)$。如果对于值域$f(D)$中的每一个$y$，在$D$中有且只有一个$x$使得$g(y)=x$，则按此对应法则得到了一个定义在$f(D)$上的函数，并把该函数称为函数$y=f(x)$的反函数，记作$x=g(y)$。复合函数设函数$y=f(u)$的定义域为$D_u$，值域为$M_u$，函数$u=g(x)$的定义域为$D_x$，值域为$M_x$，且$M_xcapD_uneqvarnothing$。那么对于所有在定义域内的$x$，通过对应关系$u=g(x)$和$y=f(u)$可以得到唯一确定的$y$值。因此，这样的函数被称为复合函数，记作$y=f[g(x)]$。02基本初等函数幂函数定义性质举例形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。幂函数的图像都经过点(1,1)；当a0时，幂函数在定义域内单调递增；当a0时，幂函数在定义域内单调递减。y=x^2，y=x^3，y=x^(-1)等。指数函数性质举例定义形如y=a^x(a0且a≠1)的函数称为指数函数。其中a是自变量的系数，称为底数，x是自变量，称为指数。指数函数的图像都经过点(0,1)；当a1时，指数函数在定义域内单调递增；当0a1时，指数函数在定义域内单调递减。y=2^x，y=3^x，y=(1/2)^x等。对数函数性质对数函数的图像都经过点(1,0)；当a1时，对数函数在定义域内单调递增；当0a1时，对数函数在定义域内单调递减。定义形如y=log_a(x)(a0且a≠1)的函数称为对数函数。其中a是底数，x是真数。举例y=log_2(x)，y=log_10(x)，y=log_(1/2)(x)等。三角函数与反三角函数三角函数包括正弦函数y=sin(x)、余弦函数y=cos(x)、正切函数y=tan(x)等。这些函数的自变量是角度（通常用弧度表示），因变量是比值。反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦函数y=arcsin(x)、反余弦函数y=arccos(x)、反正切函数y=arctan(x)等。这些函数的自变量是比值，因变量是角度。性质三角函数具有周期性、奇偶性等性质；反三角函数则具有单调性、有界性等性质。03函数的极限与连续性极限概念及性质极限的定义极限的性质当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于的确定值。唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。左右极限自变量分别从左侧和右侧趋近于某点时，函数值的极限。无穷小量与无穷大量无穷小量的定义无穷小量的性质当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于0的量。有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量；无穷小量与有界量的积是无穷小量。无穷大量的定义无穷大量的性质当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于无穷大的量。无穷大量与有界量的积是无穷大量；两个无穷大量的和、差仍是无穷大量。连续函数及其性质连续函数的定义在定义域内每一点都连续的函数。连续函数的性质局部有界性、保号性、四则运算法则、复合函数的连续性。间断点及其分类可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点、振荡间断点。闭区间上连续函数的性质有界性定理、最大值最小值定理、介值定理。04微分学基本概念与运算导数定义及几何意义导数的定义导数的几何意义设函