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等效荷载法习题

等效荷载法是结构分析中常用的一种方法，用于将复杂的荷载体系转化为等效的单一荷载，以简化分析计算。通过等效荷载法，可以将结构的设计与分析过程变得更加简单和高效。下面将通过几个习题来演示等效荷载法的应用。

习题1：等效荷载法计算梁的反力和弯矩分布

给定一根梁的荷载体系如下：

-两个集中力荷载，分别位于梁的两端，荷载大小分别为10kN和20kN；

-一个均布荷载，荷载大小为5kN/m，作用范围从梁的左端起到距离右端1m的位置。

要求：使用等效荷载法计算梁的反力和弯矩分布。

解答：

1.计算等效集中力荷载：

由于集中荷载位于梁的两端，可以将两个集中荷载合并为一个等效荷载。等效荷载的大小等于两个集中荷载的和，即等效荷载为30kN。

2.计算等效均布荷载：

等效均布荷载的大小等于均布荷载的大小乘以作用范围的长度，即等效均布荷载为5kN/m*1m=5kN。

3.计算反力：

在等效荷载作用下，梁的支座反力等于等效荷载的大小，即支座反力为30kN。

4.计算弯矩：

在等效荷载作用下，梁的弯矩分布可以通过弯矩图来表示。由于等效荷载是一个集中荷载和一个均布荷载的合力，因此弯矩图由一个集中荷载的弯矩图和一个均布荷载的弯矩图叠加而成。

集中荷载的弯矩图为三角形，最大弯矩为集中荷载大小乘以梁的跨度的一半，即最大弯矩为10kN*1m/2=5kNm。弯矩图的起点为0，终点为集中荷载的大小。

均布荷载的弯矩图为一个抛物线，最大弯矩为均布荷载大小乘以作用范围的一半，即最大弯矩为5kN/m*1m/2=2.5kNm。弯矩图的起点为集中荷载的大小，终点为集中荷载的大小加上均布荷载的大小。

将两个弯矩图叠加，得到梁在等效荷载作用下的弯矩分布图。

习题2：等效荷载法计算梁的变形

给定一根梁的荷载体系如下：

-一个集中力荷载，大小为30kN，作用于梁的中点；

-一个均布荷载，大小为10kN/m，作用范围从梁的左端起到距离右端2m的位置。

要求：使用等效荷载法计算梁的变形。

解答：

1.计算等效集中力荷载：

由于集中荷载位于梁的中点，等效荷载的大小等于集中荷载的大小的一半，即等效荷载为30kN/2=15kN。

2.计算等效均布荷载：

等效均布荷载的大小等于均布荷载的大小乘以作用范围的长度，即等效均布荷载为10kN/m*2m=20kN。

3.计算等效荷载的位置：

等效荷载的位置等于等效集中荷载的位置，即等效荷载的位置为梁的中点。

4.计算梁的变形：

在等效荷载作用下，梁的变形可以通过位移图来表示。由于等效荷载是一个集中荷载和一个均布荷载的合力，因此位移图由一个集中荷载的位移图和一个均布荷载的位移图叠加而成。

集中荷载的位移图为一条直线，位移最大处位于集中荷载的位置，位移为集中荷载大小乘以梁的跨度的平方除以8倍的梁的弹性模量和截面惯性矩的乘积，即位移为30kN*4m^2/(8*E*I)。

均布荷载的位移图为一个抛物线，位移最大处位于均布荷载的结束位置，位移为均布荷载大小乘以作用范围的平方除以24倍的梁的弹性模量和截面惯性矩的乘积，即位移为10kN/m*2m^2/(24*E*I)。

将两个位移图叠加，得到梁在等效荷载作用下的位移分布图。

通过以上两个习题的解答，我们可以看到等效荷载法的应用是如此简单而有效。等效荷载法的优点在于将复杂的荷载体系转化为等效的单一荷载，从而简化了结构的分析计算过程。在实际工程中，我们常常会遇到复杂的荷载体系，而等效荷载法的应用可以极大地简化我们的工作。因此，掌握等效荷载法的原理和应用是每个结构工程师必备的技能之一。