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第3章随机过程线性变换习题答案

1.题目：设随机过程X(t)是宽平稳过程，均值函数为m(t)=2t，自相关函数为R(τ)=e^(-|τ|)。求线性变换Y(t)=X(t)-X(t-1)的均值函数和自相关函数。

答案：首先计算Y(t)的均值函数。由于X(t)的均值函数为m(t)=2t，所以X(t-1)的均值函数为m(t-1)=2(t-1)。因此，Y(t)的均值函数为：

E[Y(t)]=E[X(t)-X(t-1)]=E[X(t)]-E[X(t-1)]=2t-2(t-1)=2

接下来计算Y(t)的自相关函数。由于X(t)的自相关函数为R(τ)=e^(-|τ|)，所以X(t-1)的自相关函数为R(τ+1)=e^(-|τ+1|)。因此，Y(t)的自相关函数为：

R_Y(τ)=E[Y(t)Y(t+τ)]=E[(X(t)-X(t-1))(X(t+τ)-X(t+τ-1))]

将Y(t)展开，得到：

R_Y(τ)=E[X(t)X(t+τ)-X(t)X(t+τ-1)-X(t-1)X(t+τ)+X(t-1)X(t+τ-1)]

利用宽平稳性质，将每一项的期望进行计算，得到：

R_Y(τ)=R(τ)-R(τ-1)-R(τ+1)+R(τ)=2e^(-|τ|)-e^(-|τ-1|)-e^(-|τ+1|)+e^(-|τ|)

综上所述，线性变换Y(t)的均值函数为2，自相关函数为2e^(-|τ|)-e^(-|τ-1|)-e^(-|τ+1|)+e^(-|τ|)。

2.题目：设随机过程X(t)是宽平稳过程，均值函数为m(t)=3t，自相关函数为R(τ)=e^(-2|τ|)。求线性变换Y(t)=X(t)+2X(t-1)的均值函数和自相关函数。

答案：首先计算Y(t)的均值函数。由于X(t)的均值函数为m(t)=3t，所以X(t-1)的均值函数为m(t-1)=3(t-1)。因此，Y(t)的均值函数为：

E[Y(t)]=E[X(t)+2X(t-1)]=E[X(t)]+2E[X(t-1)]=3t+2(3(t-1))=9t-6

接下来计算Y(t)的自相关函数。由于X(t)的自相关函数为R(τ)=e^(-2|τ|)，所以X(t-1)的自相关函数为R(τ+1)=e^(-2|τ+1|)。因此，Y(t)的自相关函数为：

R_Y(τ)=E[Y(t)Y(t+τ)]=E[(X(t)+2X(t-1))(X(t+τ)+2X(t+τ-1))]

将Y(t)展开，得到：

R_Y(τ)=E[X(t)X(t+τ)+2X(t-1)X(t+τ)+2X(t)X(t+τ-1)+4X(t-1)X(t+τ-1)]

利用宽平稳性质，将每一项的期望进行计算，得到：

R_Y(τ)=R(τ)+2R(τ)+2R(τ+1)+4R(τ)=7e^(-2|τ|)+2e^(-2|τ+1|)+4e^(-2|τ|)

综上所述，线性变换Y(t)的均值函数为9t-6，自相关函数为7e^(-2|τ|)+2e^(-2|τ+1|)+4e^(-2|τ|)。

3.题目：设随机过程X(t)是宽平稳过程，均值函数为m(t)=2t，自相关函数为R(τ)=e^(-3|τ|)。求线性变换Y(t)=3X(t)+4X(t-1)的均值函数和自相关函数。

答案：首先计算Y(t)的均值函数。由于X(t)的均值函数为m(t)=2t，所以X(t-1)的均值函数为m(t-1)=2(t-1)。因此，Y(t)的均值函数为：

E[Y(t)]=E[3X(t)+4X(t-1)]=3E[X(t)]+4E[X(t-1)]=3(2t)+4(2(t-1))=14t-8

接下来计算Y(t)的自相关函数。由于X(t)的自相关函数为R(τ)=e^(-3|τ|)，所以X(t-1)的自相关函数为R(τ+1)=e^(-3|τ+1|)。因此，Y(t)的自相关函数为：

R_Y(τ)=E[Y(t)Y(t+τ)]=E[(3X(t)+4X(t-1))(3X(t+τ)+4X(t+τ-1))]

将Y(t)展开，得到：

R_Y(τ)=E[9X(t)X(t+τ)+12X(t-1)X(t+τ)+12X(t)X(t+τ-1)+16X(t-1)X(t+τ-1)]

利用宽平稳性质，将每一项的期望进行计算，得到：

R_Y(τ)=9R(τ)+12R(τ)+12R(τ+1)+16R(τ)=37e^(-3|τ|)+12e^(-3|τ+1|)

综上所