函数的极值与最值的基本性质与求解.pptx

函数的极值与最值的基本性质与求解汇报人：XX2024-01-26目录引言函数极值的基本性质函数最值的基本性质函数极值与最值的求解方法目录典型函数极值与最值的求解举例函数极值与最值的应用举例总结与展望01引言函数的极值与最值的概念极值若函数在某点的函数值比其邻近点的函数值都大（小），则称该函数在该点取得极大（小）值，该点称为函数的极值点。最值函数在定义域内的最大值或最小值称为函数的最值，取得最值的点称为最值点。研究背景和意义理论意义函数的极值与最值是数学分析中的重要概念，对于研究函数的性质、形态以及变化规律具有重要意义。通过求解函数的极值与最值，可以深入了解函数的内在结构和特性。应用价值在实际问题中，很多情况下需要求解函数的极值与最值，如经济学中的成本最小化、收益最大化问题，物理学中的能量最小化问题等。因此，掌握函数极值与最值的求解方法对于解决实际问题具有重要意义。02函数极值的基本性质极值的定义极值是指在函数的某个局部区域内，函数值比周围点的函数值都大（或小）的点，即该点的函数值在该区域内达到最大（或最小）。极值点必须是函数的驻点或不可导点，但并非所有驻点或不可导点都是极值点。极值存在的必要条件一阶导数等于零不可导点若函数在某点的领域内可导，且在该点取得极值，则该点的一阶导数等于零。若函数在某点不可导，且在该点取得极值，则该点称为函数的不可导极值点。VS极值存在的充分条件一阶导数变号若函数在某点的领域内可导，且在该点左右两侧的一阶导数异号，则该点为函数的极值点。二阶导数不等于零若函数在某点的领域内二阶可导，且在该点的二阶导数不等于零，则该点为函数的极值点。若二阶导数大于零，则为极小值点；若二阶导数小于零，则为极大值点。03函数最值的基本性质最值的定义最大值在给定区间上，若存在一个数$M$，使得对于区间内的任意$x$，都有$f(x)leqM$，则称$M$是函数$f(x)$在给定区间上的最大值。最小值在给定区间上，若存在一个数$m$，使得对于区间内的任意$x$，都有$f(x)geqm$，则称$m$是函数$f(x)$在给定区间上的最小值。闭区间上连续函数的最值定理010203闭区间上连续函数的最大值最小值定理最大值最小值的存在性最大值最小值的求法如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则它在此区间上必定存在最大值和最小值。由于连续函数在闭区间上必定有界，因此最大值和最小值必定存在。可以通过求导数并令其等于零来找到可能的极值点，然后比较这些极值点和区间端点的函数值来确定最大值和最小值。最值的求解方法直接观察法导数法闭区间法拉格朗日乘数法对于简单的函数或已知的函数图像，可以直接通过观察来确定最大值和最小值。通过求导数并令其等于零来找到可能的极值点，然后比较这些极值点和区间端点的函数值来确定最大值和最小值。对于在闭区间上连续的函数，可以通过比较区间内所有点的函数值来确定最大值和最小值。这通常需要使用数值方法或计算机程序来实现。对于带有约束条件的函数最值问题，可以使用拉格朗日乘数法来求解。该方法通过构造一个新的函数（拉格朗日函数），将约束条件转化为无约束条件的最值问题。04函数极值与最值的求解方法一阶导数测试法求一阶导数判断驻点类型确定极值首先求出函数的一阶导数，并找出其一阶导数为零的点，这些点称为驻点。通过考察驻点附近一阶导数的符号变化，可以判断该驻点是极大值点、极小值点还是非极值点。若驻点是极大值点或极小值点，则对应的函数值就是函数的局部极大值或局部极小值。二阶导数测试法求二阶导数求出函数的二阶导数，并找出其二阶导数为零的点。判断凹凸性通过考察二阶导数的符号，可以判断函数在对应区间上的凹凸性。若二阶导数大于零，则函数在该区间上凹；若二阶导数小于零，则函数在该区间上凸。确定极值结合一阶导数和二阶导数的信息，可以确定函数的极值点和极值类型。若一阶导数为零且二阶导数大于零，则对应点为极小值点；若一阶导数为零且二阶导数小于零，则对应点为极大值点。驻点与不可导点的处理驻点的处理对于驻点，需要分别考虑其一阶导数和二阶导数的信息，以确定其是否为极值点和极值类型。不可导点的处理对于不可导点，可以通过定义或极限的方式来处理。首先确定不可导点的位置，然后考察其附近的函数值变化来确定该点是否为极值点和极值类型。在某些情况下，可能需要结合函数的图像或其他方法来进行判断。05典型函数极值与最值的求解举例多项式函数一元多项式函数多元多项式函数通过求导找到驻点，判断驻点的性质（极大值、极小值或不是极值），并考虑端点值。利用偏导数找到驻点，通过Hessian矩阵判断驻点的性质。三角函数正弦函数和余弦函数正切函数和余切函数周期函数，在周期内讨论极值和最值。通过求导找到驻点，判断驻点的性质。在定义域内讨论，注意不连续点和渐近线。指数与对数函数要点一要点