初中数学微课课件：蝴蝶定理.pptxVIP

0204蝴蝶定理知识与拓展2023必威体育精装版整理收集do

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一、问题背景蝴蝶定理（ButterflyTheorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一.早在1815年，由W.G.霍纳提出证明.“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》上，题目的图形像一只蝴蝶，因此以此命名.有一种蝴蝶的身体十分独特如图2，若将决定这种蝴蝶的形态和大小的6个特殊点（触须两个端点、张开翅膀的两个端点和张开双腿的两个端点）连结起来，你能找到哪些特殊的图形？通过这些图形，你能发现哪些数学结论？图1图2思考：蝴蝶除了对称性外，还有哪些特征？将实际问题抽象为几何图形后，怎样研究图形所具有的性质？

二、问题解决连结六个特殊点，得到三个等腰梯形，其中图2是两个等腰梯形，图3中的四边形ABDC是等腰梯形，并且AD，BC和EF近似过同一点。下面我们重点研究这个图形（图4）.图3图4

二、问题解决图5问题1：如图5，若四边形ABDC为等腰梯形，MN过对角线AD，BC的交点H，且AB∥CD∥MN,可以得到哪些结论？（1）角：∠HAB=∠HBA,∠AHC=∠BHD,∠CAD=∠DBC,∠AMH=∠BNH,…解（2）线段：BC=AD，AC=BD，HM=HN，…（3）三角形全等：△ABC≌△BAD，△ADC≌△BCD，△AHC≌△BHD,…三角形相似：△ABH∽△DCH，△AMH∽△ACD，△BHN∽△BCD，…三角形面积：S△ADC=S△BCD，S△ABC=S△BAD，S△AHC=S△BHD，S△ABH:S△CDH=AB2:CD2,…

二、问题解决图5问题2：若将图5中的等腰梯形ABDC改为一般梯形，其他条件不变（图6），以上结论还成立吗？请加以说明.解图6（1）角：平行线和对顶角所形成的角仍然成立，原来由全等和等腰产生的角不再成立.（2）线段：HM=HN（3）三角形：△ABH∽△DCH，△AMH∽△ACD，△BHN∽△BCD.三角形的面积关系仍然成立.S△AHC=S△BHD?HM=HN

三、生长拓学解问题3：在问题1中，设△ABH，△CDH，△AHC的面积分别为S1,S2,S0,试证明：S02=S1?S2.问题引导：△ABH，△CDH，△AHC在位置上有怎样的关系？哪些定理与面积的比有关？∵△ABH和△AHC是一组等高三角形等高面积比=底边比?又∵△AHC和△CDH是一组等高三角形??∴S02=S1?S2.公用边图7

三、生长拓学问题4：在⊙O中，取弦EF的中点H，过点H任意作两条弦AD，BC，连结AC和BD，分别交EF于点M，N（如图7）.试探究点H是否也是线段MN的中点.图7问题引导：由点H为弦EF的中点，你联想到什么？若要证，需要构造怎样的三角形全等？点H为弦EF的中点垂径定理连结OH,OM,ON过点O作OK⊥AC,OL⊥BDAH:BH=AC:BD易证△AHC∽△BHD?AH:BH=AK:BL∠A=∠B△AHK∽△BHL∠AKH=∠BLH∠AKH=∠MOH∠BLH=∠NOH△MOH≌△NOHMH=NH∠MOH=∠NOHO，H，M，K四点共圆，O，H，N，L四点共圆

三、生长拓学问题4：在⊙O中，取弦EF的中点H，过点H任意作两条弦AD，BC，连结AC和BD，分别交EF于点M，N（如图7）.试探究点H是否也是线段MN的中点.图7?∴O，H，M，K四点共圆，O，H，N，L四点共圆,∴∠AKH=∠MOH,∠BLH=∠NOH,∴∠MOH=∠NOH.∴△MOH≌△NOH.∴MH=NH.蝴蝶定理：过弦EF的中点H，任作两条弦AD，BC，弦AC和BD分别交EF于点M，N.则H为线段MN的中点.

四、反思悟学从蝴蝶到蝴蝶定理的发现、探究，经历了图形的建模过程：实际问题数学问题抽象证明猜想发现观察测量等腰梯形一般梯形转化

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