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2020全国硕士研究生入学统一考试数学一试题详解

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在．答题．纸．指定位置上.

当x??0?时?，下列无穷小量中最?高阶是?（ ）

?x

0

et2

?1dt

?xln1? t2 dt

0

?sinxsint2dt （D）?1?cosx sint2dt

0 0

【答案】（D）

【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。

?x? ? ??

（A）?

?0

?

et2

?1dt ?ex2

?1?x2

（B）

??xln1? t2

??0

?

?

dt??ln

??1? x2 ?x

?

?

? ??

（C）

?sinxsint2dt ?sin?sin2x??x2

0

（D）? ?? 1

?1?cosx

0

sint2dt ? sin(1?cosx)2sinx? x3

2

经比较，选（D）

设函数f?x?在区间??1,1?内有定义，且limf?x??0,则（ ）

x?0

（A）

当lim

x?0

f?x?x

?0时，

f?x?

在x?0

处可导。

（B）

当lim

f?x?

?0时，

f?x?

在x?0

处可导。

x?0 x2

（C）当f?x?在x?0处可导时，lim

f?x?

?0。

x?0 x

（D）

当f?x?在x?0处可导时，lim

f?x?

?0

x?0 x2

【答案】（C）

【解析】当f?x?在x?0处可导，且limf?x??0，则有f?0??0，limf(x)

?0（f?x?

x?0

第1页

x?0 x

f?x?

为x的高阶无穷小量），所以lim

?0，选（C）。

x?0 x

（3）设函数f?x,y?在点?0,0?处可微，f?0,0??

????f,?f,?1? ，非零向量?与n

0,n

??x?y ?

?垂直，则（ ）

?

? ?（0,0）

（A）

lim

?

n? x,y,f

?x,y??

?0存在

?x,y???0,0? x2?y2

（B）

lim

?

?n? x,y,f

?

?x,y??

?0存在

?x,y???0,0? x2?y2

（C） lim

??

??? x,y,f

?

?x,y??

?0存在

?x,y???0,0? x2?y2

（D）

lim

?

?n? x,y,f

?

?x,y??

?0存在

?x,y???0,0? x2?y2

【答案】（A）

【解析】由题意可知，

n???x,y,f?x,y?? ?f?(0,0),f

n

?(0,0),?1???x,y,f?x,y??

lim ? lim x y

(x,y)?(0,0)

x2?y2

(x,y)?(0,0) x2?y2

? lim

(x,y)?(0,0)

f?x,y??f(0,0)?f?(0,0)(x?0)?f

x

?x?0?2??y?0?2

?(0,0)(y?0)

y ，

f?x,y?

?0,0?

lim

?

?n? x,y,f

?

?x,y??

?0 A

由于函数

在点 处可微，所以

(x,y)?(0,0) x2?y2

，选（）。

R

R ?

设 为幂级数

axn的收敛半径，r是实数，则（ ）

??a

r2n

n?1 n

r?R

??a

r2n

r?R

（A）当

2n

n?1

发散时，

（B）

2n

n?1

发散时，

（C）当r?R时，??

n?1

a r2n发散 （D）当r?R时，??

2n

n?1

ar2n收敛

2n

【答案】（A）

【解析】因为R

为幂级数

??ax

n

n?1

n的收敛半径，所以

第2页

R为幂级数

??

n?1

a x2n

2n

的收敛半径，

第

第PAGE3页

??

?

当

n?1

a r2n发散时，由阿贝尔定理得r?R，选（A）。

2n若矩阵