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《微积分学教程》汇报人：AA2024-01-24

绪论极限与连续导数与微分积分学多元函数微积分学无穷级数微分方程初步目录

01绪论

古代微积分思想的萌芽早在古希腊时期，阿基米德、欧几里得等数学家就开始研究图形的面积和体积，这些研究为后来的微积分学奠定了基础。17世纪微积分学的创立17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微积分学。牛顿从物理学的角度出发，提出了“流数术”（即微分法），而莱布尼茨则从几何学的角度出发，发明了微积分符号，并建立了微积分的基本定理。18-19世纪微积分学的发展18-19世纪，数学家们对微积分学进行了深入的研究和拓展，包括欧拉、拉格朗日、柯西、魏尔斯特拉斯等在内的众多数学家都为微积分学的发展做出了重要贡献。微积分学的历史与发展

微积分学的基本思想微分学的基本思想微分学主要研究函数在某一点的局部性质，通过求导数来描述函数在该点的变化率。微分学的基本思想包括极限思想、导数概念和微分中值定理等。积分学的基本思想积分学主要研究函数在一定区间上的整体性质，通过求原函数来描述函数在该区间的累积效应。积分学的基本思想包括定积分概念、积分中值定理和微积分基本定理等。

本书共分为三大部分：微分学、积分学和微分方程。其中微分学部分包括极限、连续、导数和微分等内容；积分学部分包括定积分、不定积分、重积分和曲线积分等内容；微分方程部分包括常微分方程和偏微分方程等内容。本书在内容安排上注重系统性、逻辑性和实用性。在介绍基本概念和定理时，力求严谨、准确；在阐述解题方法时，注重思路的启发和方法的多样性；在选取例题和习题时，注重典型性、代表性和难度适中。同时，本书还配备了大量的图表和注解，以帮助读者更好地理解和掌握微积分学的知识。本书的结构与安排

02极限与连续

极限的定义描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。极限存在的条件左右极限存在且相等。极限的性质唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则等。极限的概念与性质

03一致连续与连续的区别与联系一致连续是更强的连续性条件，要求函数在整个区间上都具有“均匀”的连续性。01连续函数的定义函数在某一点连续，当且仅当函数在该点的极限值等于函数值。02连续函数的性质局部有界性、介值性、反函数的连续性等。连续函数的概念与性质

求函数的极限值01利用极限的性质和运算法则，可以求出函数在某一点或无穷远处的极限值。判断函数的连续性02通过求函数在某一点的左右极限，可以判断函数在该点是否连续。解决实际问题03在经济学、物理学等领域中，很多问题可以通过建立数学模型，利用极限和连续的理论进行求解。例如，求某个经济指标的增长趋势、求物理量的瞬时变化率等。极限与连续的应用

03导数与微分

导数的定义导数的概念与性质导数描述了函数在某一点处的切线斜率，反映了函数值随自变量变化的快慢程度。导数的性质包括可导性、导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数等。通过导数可以判断函数的单调性，找到函数的极值点。导数与函数单调性、极值的关系

微分是函数在某一点处的局部线性逼近，即函数的微小变化量。微分的定义包括基本初等函数的微分公式、微分的四则运算法则、复合函数的微分法则等。微分的基本公式与运算法则通过微分可以近似计算函数的微小变化量，如误差估计、精度分析等。微分在近似计算中的应用微分法及其应用

01高阶导数描述了函数在某一点处的更高阶变化率，反映了函数形状的复杂程度。高阶导数的定义与性质02通过高阶导数可以判断函数的凹凸性，找到函数的拐点。高阶导数与函数凹凸性、拐点的关系03高阶微分是函数在某一点处的更高阶局部线性逼近，可以通过逐次微分得到。高阶微分的定义与计算高阶导数及微分

04积分学

原函数与不定积分不定积分是求一个函数的原函数的过程，原函数与不定积分之间通过微分和积分互逆。不定积分的性质不定积分具有线性性、可加性和常数倍性质，这些性质使得在求解复杂的不定积分时可以采用分步积分的方法。不定积分的求解方法求解不定积分的方法包括凑微分法、换元法和分部积分法，这些方法的选择取决于被积函数的类型和特点。不定积分的概念与性质

定积分的定义定积分具有可加性、保号性、绝对值不等式和估值定理等性质，这些性质为定积分的计算和应用提供了基础。定积分的性质定积分的求解方法求解定积分的方法包括牛顿-莱布尼兹公式、换元法、分部积分法和数值方法等，其中牛顿-莱布尼兹公式是求解定积分的基本方法。定积分是求一个函数在闭区间上的面积或平均值的过程，其结果是一个确定的数值。定积分的概念与性质

利用定积分可以求解平面图形和立体图形的面积和体积，如圆的面积、球的体积等。面积与体积物理学中的应用工程学中的应用经济学中的应用积分在物理学中有广泛的应用，如求解物体的质心、转动惯量、引力势能等。在工程学中，积分被用于求解曲线的长度、曲面的面积、流体的流量等问题。在