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《微积分(第二版)》课件微分汇报人：AA2024-01-25

微分学基本概念一元函数微分法高阶导数及其应用多元函数微分法微分方程初步微分学在实际问题中应用举例目录

01微分学基本概念

函数是一种特殊的对应关系，它使得每个自变量唯一对应一个因变量。函数定义导数描述了函数值随自变量变化而变化的速率，即函数在某一点处的切线斜率。导数定义可导的函数必定连续，但连续的函数不一定可导。可导与连续函数与导数

微分是函数局部变化的一种线性近似，即函数在某一点处的微小变化量。微分定义微分具有线性性、可加性和乘法分配性等基本性质。微分性质对函数进行多次微分，可以得到高阶微分，描述了函数更高阶的变化率。高阶微分微分定义及性质

微分在几何上表示为切线纵坐标的增量，即函数图像上某点处切线的纵坐标相对于横坐标的增量。通过微分可以近似计算函数在某一点附近的函数值，即利用泰勒公式进行函数的近似计算。导数与微分关系：函数的导数就是其微分的商，即导数等于微分与自变量增量的比值在增量趋于零时的极限。微分与导数关系

02一元函数微分法

加法运算$(u+v)=u+v$减法运算$(u-v)=u-v$乘法运算$(uv)=uv+uv$除法运算$(u/v)=(uv-uv)/v^2$（$vneq0$）导数四则运算

如果$u=g(x)$在点$x$可导，$y=f(u)$在点$u=g(x)$可导，则复合函数$y=f[g(x)]$在点$x$也可导，且$(fcircg)(x)=f(u)cdotg(x)$或$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$。对于形如$y=[u(x)]^{v(x)}$的幂指函数，可以先取对数化为复合函数形式，再利用链式法则求导。复合函数求导法则幂指函数求导链式法则

隐函数求导如果变量$x$和$y$满足一个方程$F(x,y)=0$，在一定条件下，我们可以从这个方程解出$y$作为$x$的函数，这样的函数称为隐函数。对隐函数求导时，需要对方程两边同时关于$x$求导，并注意到$y$是$x$的函数。参数方程求导如果变量$x$和$y$由一组参数方程$begin{cases}x=varphi(t)y=psi(t)end{cases}$给出，则$frac{dy}{dx}=frac{psi(t)}{varphi(t)}$，其中$varphi(t)neq0$。隐函数及参数方程求导

03高阶导数及其应用

函数的高阶导数是指函数的一阶导数的导数，即二阶导数、三阶导数等。高阶导数描述了函数图像的更高层次的弯曲程度和变化趋势。高阶导数的定义高阶导数的计算可以通过连续求导来实现。对于常见的初等函数，我们可以直接应用求导法则和公式进行求解。对于复杂的函数表达式，可能需要使用复合函数、隐函数等求导法则。高阶导数的计算高阶导数定义及计算

洛必达法则是求解未定式极限的一种有效方法。当两个函数之比的极限存在且分母趋于零时，可以通过分别求两个函数的导数之比来求解原极限。洛必达法则的定义洛必达法则在求解复杂函数的极限问题中非常有用，特别是当函数表达式中含有根号、三角函数、指数函数等时。通过应用洛必达法则，可以简化计算过程并快速找到极限值。洛必达法则的应用洛必达法则及其应用

泰勒公式的定义泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法。它将一个函数在某点的值表示为该函数在该点的各阶导数与对应的幂次多项式的和。泰勒级数的定义当泰勒公式中的多项式项数趋于无穷时，得到的就是泰勒级数。泰勒级数是无穷级数的一种，它可以用来表示一个函数在某个区间内的性态。泰勒公式与泰勒级数的应用泰勒公式和泰勒级数在微积分学、数学分析、物理等领域有广泛的应用。它们可以用于近似计算、误差估计、求解微分方程等问题。同时，泰勒级数还可以用于函数的幂级数展开，从而研究函数的性质和行为。泰勒公式与泰勒级数

04多元函数微分法

VS设$D$为一个非空的$n$元有序数组的集合，$f$为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组$(x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$元函数。多元函数的性质多元函数具有一些与一元函数类似的性质，如连续性、可微性、偏导数的存在性等。这些性质在多元函数的分析和计算中起着重要的作用。多元函数的定义多元函数概念及性质

偏导数的定义设函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y0$而$x$在$x0$处有增量$Deltax$时，相应地函数有增量$f(x0+Deltax,y0)-f(x0,y0)$。如果$lim_{Deltaxto0}frac{f(x0+Deltax,y0)-f(x0,y0)}{Deltax}$存在，则称此极限为函数$z=f(x,y