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一元二次不等式及其解法

基本知识点：

一.解不等式的有关理论

若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；

一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形；

解不等式时应进行同解变形；

解不等式的结果，原则上要用集合表示。

二.一元二次不等式的解集

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

三.解一元二次不等式的基本步骤：

整理系数，使最高次项的系数为正数；

尝试用“十字相乘法”分解因式；

计算

结合二次函数的图象特征写出解集。

四.分式不等式的解法：

分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解；

问题1.设，解关于x的不等式

问题2.已知函数

当，求的解析式；

考点题型：

题型1.解一元二次不等式

例：不等式的解集是

题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.

例：已知关于的不等式的解集为,求的解集

不等式+2(－2)-4＜0,对一切∈R恒成立，则a的取值范围

2．不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围

3.关于的不等式(-1)(-2)＞0，若此不等式的解集为{|＜x＜2}，则的取值范围

题型3：解含参数有理不等式

例：解关于的一元二次不等式

解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:

根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);

根据根的判别式讨论().

根据根的大小讨论().

题型2：解简单的指数不等式和对数不等式

例2.解不等式(1－)＞1

关于的不等式的解集

解关于的不等式：

基本不等式

基本知识点：

1.基本形式:,则;,则,当且仅当时等号成立.

2求最值:当为定值时,有最小值;当或为定值时,有最大值().

3.拓展：若时,,当且仅当时等号成立.

4利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件．

(1)灵活运用基本不等式处理不等关系

问题1.已知正数x、y满足x+2y=1，求+的最小值.

（2）注意取等号的条件

问题2.已知两正数x,y满足x+y=1,则z=的最小值

考点1利用基本不等式求最值(或取值范围)

题型1.当积为定值时,求和最小值

例1.已知且满足,求的最小值.

题型2.当和为定值时,求积最大值

例2.已知x0，y0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值

题型3.灵活运用基本不等式求取值范围

例3.若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_______

设x，y均为正实数，且，则xy的最小值为

若，则=_____时,有最小值，最小值为_____.

已知则的最小值

若，且，则的最小值

对于下列命题①，②，③，④，其中正确的是___________

恒成立问题：

已知不等式a≤对x取一切负数恒成立，则a的取值范围

15、不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为；

16、已知恒成立的实数的取值范围为；

函数的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn0,则eq\f(1,m)+eq\f(2,n)的最小值为

BACD地面6.某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m，为的中点，到的距离比的长小0.5m，，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？

B

A

C

D

地面