求导与函数的图像性质.pptx

求导与函数的图像性质汇报人：XX2024-01-24XXREPORTING

目录导数基本概念与计算函数单调性与导数关系函数极值与最值问题曲线形状与凹凸性判断函数图像绘制与性质总结

PART01导数基本概念与计算REPORTINGXX

VS设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$Deltax$（点$x_0+Deltax$仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f(x_0)$。几何意义函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数$f(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率。导数定义导数定义及几何意义

三角函数$(sinx)=cosx,(cosx)=-sinx,(tanx)=sec^2x$对数函数$(lnx)=frac{1}{x}$指数函数$(e^x)=e^x$常数函数$(C)=0$幂函数$(x^n)=nx^{n-1}$常见函数导数公式

复合函数求导法则如果函数$u=g(x)$在点$x$可导，而函数$y=f(u)$在点$u=g(x)$可导，那么复合函数$y=f[g(x)]$在点$x$也可导，且其导数为$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$或$frac{dy}{dx}=f(u)cdotg(x)$。隐函数求导法则如果方程$F(x,y)=0$能确定一个可导的隐函数$y=f(x)$，那么对方程两边同时对$x$求导，可以解出$y$。复合函数与隐函数求导法则

高阶导数计算二阶导数函数$y=f(x)$的导数$y=f(x)$仍然是$x$的函数，则可以把$y$看作是新的函数，对其求导得到二阶导数，记作$y=f(x)$或$frac{d^2y}{dx^2}$。高阶导数类似地，可以定义三阶导数、四阶导数等，统称为高阶导数。高阶导数表示了函数在某一点处的更高阶的变化率。

PART02函数单调性与导数关系REPORTINGXX

若函数在某区间内的一阶导数大于0，则该函数在此区间内单调递增。一阶导数大于0若函数在某区间内的一阶导数小于0，则该函数在此区间内单调递减。一阶导数小于0单调递增/递减条件

若函数在某点的二阶导数由正变负或由负变正，则该点为函数的拐点。拐点是函数图像凹凸性发生改变的点，即函数在该点左侧和右侧的凹凸性不同。二阶导数变号拐点性质拐点判断及性质

求导并判断符号首先求出函数的导数，然后判断导数在不同区间的符号，从而确定函数的单调性。绘制函数图像通过绘制函数的图像，可以直观地观察函数的单调性及其变化趋势。利用导数研究函数单调性

03自然科学研究在自然科学研究中，函数的单调性有助于揭示自然现象的内在规律和变化趋势。01经济模型分析在经济模型中，通过分析函数的单调性可以预测市场供需关系、价格变化等经济现象。02工程优化设计在工程领域，利用函数的单调性可以优化设计方案，降低成本和提高效率。案例分析：实际问题中单调性应用

PART03函数极值与最值问题REPORTINGXX

极值定义及判定条件设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内有定义，如果对于去心邻域$dot{U}(x_0)$内的任一$x$，有$f(x)f(x_0)$（或$f(x)f(x_0)$），那么就称$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极大值（或极小值）。极值定义函数$f(x)$在$x_0$处取得极值的必要条件是一阶导数$f(x_0)=0$，充分条件是一阶导数在$x_0$左右两侧异号。判定条件

一阶导数测试法步骤首先求出函数的一阶导数$f(x)$，然后找出使一阶导数为零的点即驻点，最后通过判断驻点左右两侧一阶导数的符号来确定该点是否为极值点。要点一要点二注意事项一阶导数测试法只能判断驻点是否为极值点，不能确定极值的大小，也不能判断端点或不可导点的情况。一阶导数测试法

二阶导数测试法步骤首先求出函数的二阶导数$f(x)$，然后找出使二阶导数为零的点即拐点，最后通过判断拐点左右两侧二阶导数的符号来确定该点是否为极值点。注意事项二阶导数测试法可以判断拐点是否为极值点，并确定极值的大小。同时需要注意二阶导数不存在的点也可能是极值点。二阶导数测试法

最值问题在实际问题中的应用非常广泛，如经济学中的最大利润、最小成本问题，工程学中的最优设计问题