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中科大2018年秋季学期微分流形期末考试
Problem1(20points,4pointseach)
Writedownthedefinitionsofthefollowingconceptions.
(1)AtopologicalmanifoldisatopologicalspaceMsuchthat...
(2)ApartitionofunitysubordinatetoalocallyfinitecoveringfUgofMisafamilyofsmooth
i
functionsfgsuchthat...
i
(3)AnimmersionfWM!Nisasmoothmapsuchthat...
(4)ALiegroupisasmoothmanifoldGsuchthat...
(5)AnintegralcurveofasmoothvectorfieldXisamapWI!Msuchthat...
(6)Avectorbundleofrankrisatriplef;E;MgwhereWE!Misasmoothsurjectivemap
suchthat...
Problem2(20points,2pointseach)
TRUEorFALSE.
()IffWM!Nisasmoothmap,andZisasmoothsubmanifoldofN,thenf1.Z/isasmooth
submanifoldofM;
()T2canbeembeddedintoR3;
()ThereexistsasmoothvectorfieldXonS2nC1sothatX¤0;8p2S2nC1;
p
()TheexponentialmapexpWg!Gisalwayssurjective;
()Anycompactsmoothmanifoldisorientable;
()ForanysmoothvectorfieldXandanysmoothk-form!,onehasdL!DLd!;
XX
()Ifw2Bk.M/iscompactlysupported,thenw2Bk.M/;
c
()S2isaLieGroup;
()Foranyintegerk,onecanfindasmoothmapfWS1!S1whosedegreeequalsk;
()TheEulercharacteristicofT5S6is0;
()IfM;N
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