五年级奥数整数裂项教师版.docx

整数裂项知识点拨

整数裂项

知识点拨

(1)1?2?2?3?3?4?...?(n?1)?n?1(n?1)?n?(n?1)

3

(2)1?2?3?2?3?4?3?4?5?...?(n?2)?(n?1)?n?1(n?2)(n?1)n(n?1)

例题精讲4

例题精讲

【例1】 1?2?2?3?3?4? ?49?50=

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后,相互抵消。设S＝1?2?2?3?3?4? ?49?50

1×2×3＝1×2×3

2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3

3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……

49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50

3S＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51

S＝49×50×51÷3＝41650

【答案】41650

【巩固】1?2?2?3?3?4?4?5?5?6?6?7?7?8?8?9?9?10?

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】本题项数较少,可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和,但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况,可以进行如下变形：

n?n?1??n?n?1??n?2???n?1?n?n?1??1n?n?1??n?2??1?n?1?n?n?1?,

3 3 3

所 以 原 式

?1?1?2?3??1?2?3?4?1?1?2?3?? ??1?9?10?11?1?8?9?10?

3 ?3

3 ? ?3 3 ?

? ? ? ?

?1?9?10?11?3303

? ? ? ??另解：由于n?n?1??n

? ? ? ?

?

原式?12?1?22?2? ?92?9?

??12?22? ?92???1?2?

?9??1?9?10?19?1?9?10?330

6 2

采用此种方法也可以得到1?2?2?3? ?n??n?1??1n?n?1??n?2?这一结论．

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【答案】330

【例2】 1?4?4?7?7?10? ?49?52=

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】设S＝1?4?4?7?7?10? ?49?52

1×4×9＝1×4×7＋1×4×2

4×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7

7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10

………….

49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×52

9S＝49×52×55＋1×4×2

S=（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572

【答案】15572

【例3】 1?2?3?2?3?4?3?4?5? ?9?10?11?

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】n?n?1??n?2??1n?n?1??n?2??n?3??1?n?1?n?n?1??n?2?,所以,4 4

原式

1 ?1

1 ? ?1 1 ?

?4?1?2?3?4??4?2?3?4?5?4?1?2?3?4?? ??4?9?10?11?12?4?8?9?10?11?

? ? ? ?

?1?9?10?11?12?2970

4

从中还可以看

出,1?2?3?2?3?4?3?4?5? ?n??n?1???n?2??1n?n?1??n?2??n?3?

4

【答案】2970

【例4】 计算：1?3?5?3?5?7? ?17?19?21? ．

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】可以进行整数裂项．

3?5?7?3?5?7?9?1?3?5?7