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《概率论与数理统计》魏宗舒版

汇报人：AA

2024-01-19

目录

绪论

概率论基本概念

随机变量及其分布

数理统计基本概念

假设检验

方差分析与回归分析

随机过程初步

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绪论

研究随机现象数量规律的数学分支，其基本概念包括随机事件、随机变量、概率分布等。

以概率论为基础，研究如何从数据中获取有用信息并作出科学推断的数学分支。

数理统计

概率论

概率论是数理统计的理论基础

数理统计中的许多概念和方法都建立在概率论的基础上，如参数估计、假设检验等。

数理统计是概率论的应用

概率论中的理论和方法在数理统计中得到了广泛应用，用于解决各种实际问题。

在物理学、化学、生物学等自然科学领域中，概率论和数理统计被用于描述随机现象和进行数据分析。

自然科学

在社会学、心理学、经济学等社会科学领域中，概率论和数理统计被用于研究社会现象和人类行为。

社会科学

在信号处理、图像处理、人工智能等工程技术领域中，概率论和数理统计被用于设计算法和解决实际问题。

工程技术

在金融领域中，概率论和数理统计被用于风险管理、投资组合优化、期权定价等方面。

金融领域

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概率论基本概念

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又称等可能概型，满足有限性和等可能性两个特点。

古典概型

试验的样本空间是一个区域，随机事件A是样本空间的一个子集，且子集的测度（长度、面积或体积）可以计算。

几何概型

主要在于样本空间和随机事件的表示方式不同。

古典概型与几何概型的区别

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条件概率与独立性的关系

如果事件A和事件B相互独立，则P(A|B)=P(A)，反之则不成立。

01

条件概率

在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。

02

独立性

如果事件A和事件B的发生互不影响，则称事件A和事件B是相互独立的。

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随机变量及其分布

随机变量

描述随机变量取值概率的函数，具有单调不减和非负性的性质。

分布函数

离散型随机变量

连续型随机变量

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取值充满某个区间的随机变量，其分布函数为连续函数。

定义在样本空间上的实值函数，用于描述随机试验的结果。

取值可数的随机变量，其分布函数为阶梯函数。

描述离散型随机变量各取值概率的规律。

分布律

常见离散型随机变量的分布

二项分布

泊松分布

二项分布、泊松分布、几何分布等。

描述n次独立重复试验中成功次数k的分布规律，记作B(n,p)。

描述单位时间内随机事件发生的次数k的分布规律，记作P(λ)。

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概率密度

描述连续型随机变量取值概率密度的函数，具有非负性和规范性。

常见连续型随机变量的分布

均匀分布、指数分布、正态分布等。

均匀分布

描述在某一区间内取值等可能的连续型随机变量的分布规律。

指数分布

描述等待时间或寿命等连续型随机变量的分布规律，具有无记忆性。

正态分布

描述影响某一指标的随机因素非常多且每个因素的影响都很小的情况下该指标的分布规律，具有对称性和集中性。

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04

数理统计基本概念

研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个概率分布来描述。

总体

从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。

样本

样本中包含的个体数目，通常用n表示。

样本容量

样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等。

统计量

抽样分布

常见的抽样分布

统计量的概率分布，描述了统计量在多次抽样中的分布情况。

正态分布、t分布、F分布、卡方分布等。

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假设检验

小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，若发生则拒绝原假设。

小概率原理

根据问题背景设立原假设和备择假设，原假设通常是待检验的断言的反面。

假设的设立

用于检验原假设的统计量，其分布已知或可导出。

检验统计量

当检验统计量落入拒绝域时，我们拒绝原假设，临界值是拒绝域与非拒绝域的边界值。

拒绝域与临界值

当总体方差已知时，使用z检验；当总体方差未知时，使用t检验。

均值检验

使用卡方检验，通过比较样本方差与总体方差的差异来判断原假设是否成立。

方差检验

当两总体方差已知且相等时，使用z检验；当两总体方差未知但相等时，使用t检验；当两总体方差不等时，使用Welcht检验。

两总体均值差的检验

使用F检验，通过比较两组数据的方差比来判断原假设是否成立。

两总体方差比的检验

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方差分析与回归分析

原理

通过比较不同水平下样本均值的差异，推断总体均值是否存在显著差异。

假设检验

提出原假设和备择假设，构造F统计量，根据F分布进行假设检验。

方差分析表

列出各来源的变异（组间变异和组内变异），计算F值，进行显著性判断。

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原理

分别检验行因素、列因素和交互作用的显著性。

假设检验

方差分析表

列出各来源的变异（行因素变异、列因素变异、交互作用变异和误差变异），计算F值，进行显著性判断。

研