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导数在高中数学的应

用1

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导数与中学数学的联系及其应用

前言

导数是联系高等数学与初等数学的纽带，中学阶段引进导数的学习有利于学生更好地

理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思

维能力．因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析

式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实

际应用等问题．

导数在现行的中学数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是中学

数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具．本课题期望通过对

导数在新课程中的地位以及在中学数学解题应用中的探讨，拓展学生的解题思路，提高学生分析问题

和解决问题的能力．«SkipRecordIf...»

一、导数在中学数学新课程中的地位和联系

《普通中学数学课程标准(实验)》指出：中学数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成

的．必修课程是整个中学数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学

习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修．选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成．在系列1

和系列2中都选择了导数及其应用．显然，导数的重要性不言而喻．

（一）有利于学生更好地理解函数的性态

在中学阶段学习函数时，为了理解函数的性态，学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇

偶性、周期性、有界性等．我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像表示出来，因而，如果

能准确地作出函数的图像，函数的性质就一目了然，函数的性态也容易掌握了．

如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像．但是，如果所涉及的函数

是非基本初等函数，比如«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»等函数，仅用描点法就很难较

为准确地作出图像．但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调

区间、极值点、最值点；利用函数的二阶导数判定函数的凹凸区间、拐点；利用极限的思想找出其水

平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像．这样就有利于学生更

好地理解函数的性态，同时也拓宽了学生的知识面．

（二）有利于学生更好地掌握函数思想

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数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关

系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简

捷地获得问题的解决，这也正体现和显示了新课程的优越性．

其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，

解决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数，

来解决相关问题．

（三）有利于学生弄清曲线的切线问题

学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响，误认为曲线在某点处的切线，就是与曲线有一个公共

点的直线．如果学习了导数的定义及其几何意义后，学生就知道«SkipRecordIf...»在点«Skip

RecordIf...»的切线斜率«SkipRecordIf...»，正是割线斜率在«SkipRecordIf...»时的极限，即

«SkipRecordIf...»．

由导数的定义，«SkipRecordIf...»，所以曲线«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»的切

线方程是

«SkipRecordIf...»．

这就是说：函数«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»的导数«SkipRecordIf...»是曲线

«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处的切线斜率[1]．

从而，学生就掌握了切线的一般定义：设有曲线«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»上