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2013高考数学常见难题大盘点：立体几何
如图,在直三棱柱ABC－ABC中，AC＝3，BC＝4，AA＝4，点D是AB的中点， （I）求
111 1
证：AC⊥BC； （II）求证：AC//平面CDB；
1 1 1
解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.
答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－ABC，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，
111
∴AC⊥BC，且BC
1
在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC；
1
（II）设CB与CB的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC
的中点，
1 1 1
∴DE//AC，∵DE?平面CDB，AC?平面CDB，
1 1 1 1
∴AC//平面CDB；
1 1
zCBAECByxA111解法二：∵直三棱柱ABC－
z
C
B
A
E
C
B
y
x
A
1
1
1
BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、CC两两垂直，如图，以C
1
为坐标原点，直线CA、CB、CC分别为x轴、y轴、z轴，
1
建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C
1
3
2（0,0，4），B（0,4，0），B（0,4，4），D（ ，2,0）
2
1
（1）∵AC＝（－3,0，0），BC
1
＝（0，－4,0），
∴AC?BC
1
＝0，∴AC⊥BC.
1
1113
1
1
1
设CB
与CB的交战为E，则E（0,2，2）.∵DE＝（－2，0,2），AC
＝（－3,0，
4）
4），∴DE?2AC
1
1
，∴DE∥AC.
1
点评：2．平行问题的转化：
转化
转化
面面平行
线面平行
线线平行；
如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB?AD，CD?AD，PA?底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。
求证：BM∥平面PAD；
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在侧面PAD内找一点N，使MN?平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
答案：（1
答案：（1）?M是PC的中点，取PD的中点E，则
ME
1
CD，又AB
2
1
CD
2
?四边形ABME为平行四边形
?BM∥EA，BM?平面PAD
EA?平面PAD
?BM∥平面PAD （4分）
以A为原点，以AB、AD、AP 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则B?1,0,0)?，C?2,2,0?，D?0,2,0?，P?0,0,2?，M?1,1,1?，E?0,1,1?
在平面
内设N?0,y,z?，
??? ?
?，??? ? ?，
PAD
MN?
?1,y?1,z?1
PB?
1,0,?2
?DB ?1,?2,0? 由 ? ? ? ??1?2z?2?0 ?z?
?
MN PB MNPB??? ??? ??? ??? ???
MN PB MNPB
由MN?DB ?MN?DB??1?2y?2?0 ?y?1
???
??? ??? ??????
? 1 1??N?0, , ??N是AE的中点，此时MN?
? 1 1?
? 2 2?
设直线PC与平面PBD所成的角为?
2
（8分）
???
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???
???1,?1,?1?
P??C?,M??N? ?
PC ，MN ?
?
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2 2?
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PC?MN
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