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Chapter6.3

汽车局部轨迹生成主要方法

车辆局部轨迹规划

局部轨迹直接构造法

直线/圆弧段构造

假设车辆行驶的道路只能向前行进，Dubins曲线是在满足曲率约束和规定的始端和末端的切线方向的条件下，连接两个二维平面（即X-Y平面）的最短路径；如果车辆也可以反向行驶，则路径为Reeds–Shepp曲线。

其中（x,y）是汽车的位置，θ是航向，汽车以恒定速度v移动，转弯速度控制u是有界的。规定的初始和终端切线方向对应于初始和终端坐标。

车辆局部轨迹规划

局部轨迹直接构造法

Dubins路径给出了两个定向点间的最短路径，对于汽车这种轮式机器人模型，这一路径是可实际运行的路线。

最佳路径类型可以用与汽车驾驶行为相似的“右转（R），左转（L）或直行（S）”的描述来表达。最佳路径为以下六种类型之一：RSR，RSL，LSR，LSL，RLR，LRL

RSLDubins曲线

RSRDubins曲线

LSLDubins曲线

车辆局部轨迹规划

多项式螺旋线构造

多项式螺旋线代表了一类曲率（curvature）可以用弧长（arclength，对应轨迹中的s方向）的多项式函数来表示的曲线簇。

多项式螺旋线

车辆局部轨迹规划

样条曲线

曲线插值是经过所有给定的点的方法，而曲线拟合是生成曲线逼近这些给定的点。对于机器人运动规划和控制系统中，需要基于样条插值使得机器人运动轨迹能经过控制点，增加拟合曲线与目标轨迹的匹配程度。

样条曲线可通过数值计算利用参数调整曲线使之逼近多边形而得到，是基于多边形的边和点构造而成的光滑曲线。样条曲线的形状受多边形顶点的数目和位置影响，其中用以确定样条曲线的多边形被称为样条曲线的特征多边形或控制多边形，多边形的顶点被称为样条曲线的控制点，样条曲线在数据拟合中需要穿过的给定的点称为型值点。

车辆局部轨迹规划

样条曲线

式中，u是位置参数Pi是Bezier曲线的控制点。Bezier曲线的控制点描述了曲线的大体走向，通过控制曲线的控制点就可以控制曲线的形状，所有控制点组成的多边形称为曲线的特征多边形。

在规划机器人路径时，经常用到以下的几何性质：

端点性质

曲线起始于第一个控制点，终止于最后一个控制点。

起始点处和终止点处的Bezier曲线分别相切于特征多边形的第一条边和最后一条边。

Bezier曲线起点处和终点处的二阶导矢分别只与前3个控制点和最后3个控制点有关。

车辆局部轨迹规划

样条曲线

车辆局部轨迹规划

B样条曲线

车辆局部轨迹规划

B样条曲线

B样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况，可划分为4种类型：

均匀B样条曲线。在这种B样条曲线节点矢量中的节点之间差值相等，即等间距均匀分布。因此由这样的节点矢量可以确定均匀的B样条基

准均匀B样条曲线。相对于均匀B样条曲线，准均匀B样条曲线在两端点处存在重复度k，具有这样特点的节点矢量可以确定准均匀的B样条基。均匀B样条曲线不像贝塞尔曲线那样曲线端点就是控制多边形的端点，准均匀B样条曲线因为端点的节点存在重复度，所以可以保证曲线端点也是控制多边形端点。

分段贝塞尔曲线。当B样条曲线的节点矢量两端点处存在重复度k，而所有内部节点重复度为k-1时，这样的节点矢量可以确定分段的Bernstein基。当贝塞尔曲线用于表示分段的B样条曲线后，每一段的B样条曲线可以单独调整而不影响其他部分的曲线，调整某一控制点也只是影响该控制点参与控制的曲线段的形状。

非均匀Bezier曲线。在保证节点序列非递减并且两端点重复度不大于k，内节点重复度不大于k-1的情况下，节点矢量可以任意取。这样的一组节点矢量可以确定非均匀的B样条基。

车辆局部轨迹规划

B样条曲线

B样条曲线具有如下性质：

局部性。对于参数为t(titti+1)的k阶B样条曲线上一点最多能够影响k个控制点，而与其余的控制点不产生联系。当调整该曲线上某一控制点Pi的时候，仅仅能够影响区间(ti,ti+1)内曲线的形状，对其他曲线不产生影响。

连续性。假如B样条曲线在某一节点处存在r重节点，那么曲线在该节点处连续阶大于等于k-r-1。

凸包性。B样条曲线总是位于控制多边形的凸包内部。

分段参数多项式。P(t)在每一区间上都是关于参数t的多项式，并且它的次数小于等于k-1。

变差缩减性。平面内存在一定数量的控制点用于构成B样条曲线的控制多边形，平面内任意一条直线与B样条曲线相交的点的数目小于或等于该直线与控制多边形相交的点的数目。

几何不变性。B样条曲线的形状和位置不因坐标系的改变而发生变化。

仿射不变性。在仿射变换下，B样条曲线的表达式形式不会发生改变。

造型的灵活性。利用B样条曲线可以构造直线段、尖点、切线等特殊情况。