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第三章泊松过程;例1泊松过程的一个实例;例2;3.2泊松过程的基本性质;数字特征;相关函数

协方差函数;推导过程;协方差函数;泊松过程的特征函数为;泊松过程的时间间隔Tn与

等待时间Wn的分布;等待时间Wn与时间间隔Tn均为随机变量;时间间隔Tn;证：(1)n=1

事件{T1t}发生当且仅当在[0,t]内没有事件发生;

T1服从均值为1/?的指数分布;(2)n=2

P{T2t|T1=s}

=P{在(s,s+t]内没有事件发生|T1=s};=P{X(s+t)-X(s)=0|X(s)-X(0)=1}

=P{X(s+t)-X(s)=0}

T2服从均值为1/?的指数分布;(3)n?1;时间间隔Tn的分布为

概率密度为

;等待时间（到达时间）Wn;证明：，Ti为时间间隔;

;到达时间Wn的分布;到达时间Wn的条件分布;

;对s?t，有;从而W1的条件分布函数为;条件分布密度函数为;设{X(t),t?0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，则这n次事件的到达时间W1W2?Wn的条件概率密度为;例1;

参数为n和s/t的二项分布;例2;解：仪器发生第k振动的时刻Wk，则Wk的概率分布为Γ分布：;故仪器在时刻t0正常工作的概率为：;例3;

证明：（1）;

即是具有参数的泊松过程。;（2）

故不是泊松过程。

;由例3可得以下性质：

;练习题;答案;2．设是具有参数的泊松过程，假定是相邻事件的时间间隔，证明

（即“泊松过程无记忆”性）。;2．证明：是相邻事件的时间间隔，故

。;3．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为，，，且均为泊松过程，它们相互独立。若把这些汽车合并成单个输出过程（假定无长度、无延时），求

（1）相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔概率密度；

（2）汽车之间的不同到达时刻的间隔概率密度。;3．解：（1）相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔，故其概率密度函数为;（2）据题意，汽车合并成单个输出过程

是参数为的泊松过程，故汽车之间的不同到达时刻的间隔服从指数分布，即其概率密度函数为;4．设是具有参数的泊松过程，证明

（1）

（2）;证：;

5．设和设分别是具有参数和的相互独立的泊松过程，令

和是的两个相继泊松型事件出现的时间，且对于，有

和，定义，求的概率分布。;解：令，则，

【注意：由示性函数得：】

;第3章泊松过程;例3.4已知仪器在[0,t]内发生振动的次数X(t)是具有参数?的泊松过程。若仪器振动k(k?1)次就会出现故障，求仪器在时刻t0正常工作的概率。;故仪器在时刻t0正常工作的概率为:;例3.5设和是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为和，记为过程的第k次事件到达时间，为过程的第1次事件到达时间，求,即第一个泊松过程的第k次事件发生比第二个泊松过程第1次事件发生早的概率。

;解：设Wk(1)的取值为x，W1(2)的取值为y，由（3.8）式可得：;其中D为由y=x与y轴所围区域，f(x,y)为Wk(1)与W1(2)的联合概率密度，故:;例3.6