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解析几何教案第一章向量与坐标

解析几何教案

第一章向量与坐标

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前 言

解析几何简介

解析几何，又叫坐标几何，它产生于17世纪初,是运用代数的方法研究几何和变换的一门科学．

主要研究对象

平面解析几何：一次、二次方程表示的直线、二次曲线；空间解析几何：平面、空间曲线与二次曲面．

重要地位与学习意义

解析几何是几何学的一个分支，在高等数学的发展史上占有重要地位，是沟通几何形式与数量的一座桥梁，在多种领域有着广泛的应用．

学习解析几何是进一步学习高等数学必不可少的基础，对于培养用运动变化的观点，辨证地研究问题有重要意义．

第一章 向量与坐标

解析几何的基本思想是运用代数的方法来研究几何，从而把几何问题的讨论，从定性的研究推广到可以计算的定量的层面．为了把代数的方法引入到几何中来，必须将空间的几何结构代数化．这一章我们系统介绍向量代数的基本知识，它实质是一个使空间几何结构代数化的过程．

§1.1向量的概念

教学内容:向量及一些特殊向量的概念

教学目的:掌握向量、单位向量、零向量、自由向量、相等向量、反向量的概念，能判别共线向量，共面向量

教学重难点：相等向量、共线向量、共面向量

日常生活与自然科学中存在着两种量：向量与数量．向量并不陌生，在初中物理中我们就接触过它，位移、力、速度等就是向量，他们既有大小，又有方向．而长度、面积、体积等量，它们只有大小，是数量，又称标量．

定义1.1.1既有大小又有方向的量叫向量，或称矢量，简称矢．一般两向量不能比较大小.

ABa向量的几何表示：有向线段.用AB,a,x,? 或用黑体字母a,b,x,…来记向量．向量的始点与终点：有向线段的始点与终点．

AB

a

向量的大小：向量的模．记为向量的方向：有向线段的方向．

B

, ,?

解析几何教案第一章向量与坐标

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第一章向量与坐标

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abA

a

b

模等于1，模等于0的向量是特殊向量：单位向量与零向量．

向量a的单位向量a0：与同方向的单位向量．（此指非零向量的单位向量）用有向线段表示向量，与线段一样，向量亦有平行关系，相等关系．（简介正

交关系）

两向量a,b平行：a,b所在的直线相互平行,记做a∥b．

定义1.1.2如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫相等向量，所有的零向量都相等．向量a与b相等，记做a=b．

不在同一直线上的两相等非零向量AB，A?B?的判定：

A’ B’

始点终点构成平行四边形ABB?A?。

A B

可以看出,两向量是否相等与始点无关，只与模和方向有关．始点位置任意，模和方向确定的向量叫自由向量．

例:把空间中的一切单位向量归结到共同的始点构成单位球面；

把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同点始点构成单位圆．

定义1.1.3两个模相等方向相反的向量叫互为反向量；a的反向量记做－a．显然，向量AB与BA互为反向量，即AB＝－BA．

若将彼此平行的一组向量归结到共同的始点,这组向量一定在同一直线上；

若把平行于同一平面的一组向量归结到同一始点,这组向量一定在同一个平面上．

定义1.1.4平行于同一直线的一组向量叫做共线向量．零向量与任何共线的向量组共线．

定义1.1.5平行于同一平面的一组向量叫做共面向量．

易知，一组共线向量一定是共面向量；任意两向量必共面；三向量中若有两向量共线,则三向量共面．

作业：P32,3,4．

§1.2向量的加法

教学内容：向量的加法与减法

教学目的：掌握向量加法与减法的概念及运算规律教学重难点：向量加法的三角形法则

一． 向量的加法

实例

作用于同一点不共线两力OA，OB的合力（平行四边形法则）两个位移OA，AB的合成 （三角形法则）

二者关系：在自由向量的意义下,两向量合成的平行四边形法则可归结为三角形法则．

B b C B

cbO a A O a

c

b

(图1) (图2)

加法的概念

定义

设a，b以空间一点O为始点作OA=a，AB=b，则折线OAB中OB=

c叫作a与b的和，记作c＝a＋b．

即OA+AB=OB （三角形法则）

定理

定理1.2.1 平行四边形法则

以 OA,OB为邻边组成平行四边形OACB，则对角线向量

OC=OA+OB

易知共线两向量a，b的和且 a+0=a, a+(－a)=03．加法的运算律

? ? ?

任意a，b，c有

a+b=b+a (交换律) a+(b+c)=(a+b)+