特征根法求数列的递推公式.docxVIP

特征根法求数列的递推公式 一、形如 a ? pa ? qa ( p, q 是常数）的数列 n?2 n?1 n 形如 a ? m , a ? m , a ? pa ? qa ( p, q是常数）的二阶递推数列都可用特征根 1 1 2 2 n? 2 n?1 n 法求得通项a n ，其特征方程为 x2 ? px ? q …① 若①有二异根?, ? ，则可令a ? c ?n ? c ? n (c , c 是待定常数） n 1 2 1 2 若①有二重根? ? ? ，则可令a ? (c ? nc )? n (c , c 是待定常数） n 1 2 1 2 再利用a ? m , a ? m , 可求得c , c ，进而求得a 1 1 2 2 1 2 n 例 1 已知数列{a n }满足a 1 ? 2, a 2 ? 3,a n?2 ? 3a n?1 2a n (n ? N *) ，求数列{a n } 的通项a n 解：其特征方程为 x2 ? 3x ? 2 ，解得 x 1 ? 1,x 2 ? 2 ，令a n ? c ?1n ? c 1 2 2n ， ?a ? c ? 2c ? 2 ?c ? 1 n? 1 n 由? 1 1 2 ，得? 1 ， ?a ? 1? 2n?1 ?2a ? c ? 2 2 1 4c 2 ? 3 ??c ? 2 例 2 已知数列{a n }满足a 1 ? 1, a 2 ? 2,4 a n?2 ? 4a n?1 a (n ? N *) ，求数列{a n n } 的通项a n 解：其特征方程为4x2 ? 4x ?1 ，解得 x ? x ? 1 ，令a 2 ? ?c nc ? 1 ?n ? ，? 2 ? ， ?a ? (c ? c ) ? 1 ? 1 1 2 n 1 2 ? ? ?由? 1 1 2 2 ? ?c ? ?4 ，得? 1 ， ? a ? 3n ? 2 ??a ? (c ? 2c ) ? 1 ? 2 ? c ? 6 2 n 2n?1 ?? 2 1 2 4 二、形如 a n?1 Aa ? B Ca ? D ?nn ? n Aa  的数列 B 对于数列a n?1 ? Can ? D ， a ? m, n ? N*(A, B,C, D是常数且C ? 0, AD? BC ? 0 ） 1 其特征方程为 x ? n Ax ? B Cx ? D  ，变形为Cx2 ? (D ? A)x ? B ? 0 …② 若②有二异根?, ? a ，则可令 n?1 ?? a ?? ? c ? n （其中c 是待定常数），代入a , a 的 值可求得c 值。 a n?1 ? ? a ? ? 1 2 n ? a ?? ? a ?? 这样数列? n ? 是首项为 1 ，公比为c 的等比数列，于是这样可求得a ??a ? ? ? ? n a ? ? n 1 若②有二重根? ? ? ，则可令 1 ? 1 ? c（其中c 是待定常数），代入a , a 的值可求得c 值。 a n?1 ?? a ?? 1 2 n 这样数列? 1 ? 是首项为 1  ，公差为c 的等差数列，于是这样可求得a a??? ?? ? a ? ? n a ?? n n a ? 2 例 3 已知数列{a n } 满足a 1 ? 2, a n ???n?1 2a n?1 (n ? 2) ，求数列{a ?1 n } 的通项a n x ? 2 a ?1 a ?1 解：其特征方程为 x ? ，化简得2x2 ? 2 ? 0 ，解得 x ? 1, x ? ?1，令 n?1 ? c ? n 由a ? 2, 得a 1 2 2x ?1 ? 4 ，可得c ? ? 1 ， 5 3 1 2 a n?1 ?1 a ?1 n ? a ?1? a ?1 1 1 a ?1 1 ? 1 ?n?1 ??? 数列? n ?是以 a1 ? ? 为首项，以? 3 为公比的等比数列，? n ? ??? ? ， ? ? ? a ? n a ?1 n 3n ? (?1)n 3n ? (?1)n 1 3 a 1 n 2a ?1 ?1 3 ? 3 ? 例 4 已知数列{a } 满足a ? 2, a ???n (n ? N * ) ，求数列{a } 的通项a n 1 2x?1 n?1 4a ? 6 n n n 1 1 1 解：其特征方程为x ? 4x?6 ，即4x2 ?4 x1? 0? ，解得 x ? x 1 2 ? ? ，令 2 a ? 1 n?1 2 ? ? c a ? 1 n 2 由a ? 2, 得a 1 2 ? 3 ，求得c ?