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子流形的几何刚性定理和微分球面定理的中期报告 子流形的几何刚性定理： 子流形的几何刚性定理研究的问题是当我们更改子流形的 Riemann度量和它在周围空间的嵌入时，这个子流形是否有什么不变量。这些不变量可以是形变量或其它一些几何量，它们能够揭示子流形的几何性质，在不同的数学和物理应用中被广泛使用。 对于紧致子流形，Gromov和Lawson证明了一些令人惊讶的结果，即： 1、紧致子流形的几何刚性定理：对于整体具有特定网格结构的n维紧致子流形，它们不容易形变，而且拓扑是固定的。 2、微分平凡性和拓扑逆定理：当这些流形为Riemann度量时，它们在任意维度上都是微分等价的。 3、微分球面定理：一维的子流形是平凡的。 这些结果是通过构造 differential gormomorphism 和使用微分几何工具得到的。 微分球面定理： 微分球面定理是微分几何中一个很重要的基础结果，其中最著名的是 n=2 时的情形。它给出了连接子流形的局部和全局几何的有效途径，这在拓扑学、数学分析、物理学等领域中有广泛的应用。 微分球面定理的故事始于（-1）维球面 S^(-1)，因为它被认为是全局几何已知的唯一子流形。随后， Nash和Kuiper证明了在低维情况下对球面进行局部构造的可能性，开创了后来的 n2 的球面构造。而对于 n=2 的情况，Riemann猜想通过Beltrami的构造被证实. 最近，Hu和Pan证明了对于任何维度的大多数拓扑类型的紧致且连通的子流形都像球面。这个证明是通过给出一个球面的“大局部”构造，然后证明这些构造具有几何刚性得到的。