数值分析复习课件.pptVIP

* 确定系数使得指标尽可能的高 方法好坏的指标 非线性方程不动点迭代(零点处的各阶导数) 线性方程组 (迭代矩阵的谱半径) 数值积分 (代数精度) 常微分方程数值解(局部截断误差的阶数) * 例29. 例30. 证明修正的Euler法具有2阶精度 证 由预测公式 注意所有的都化成y(xn),y′(xn), y″(xn)等 由Taylor 级数 设 局部截断误差: 故修正的Euler法具有2阶精度。 * 容易混淆的式子 迭代格式 不动点 等式 * * 现实世界纷繁复杂 近似思想: 用人和计算机擅长的简单模型和计算来近似纷繁复杂的现实世界。 计算机对复杂计算束手无策 人对复杂问题建模力不从心 近似思想: 迭代思想: * 此情无计可消除，才下眉头，却上心头。 迭代背后的思想是一种与传统思维模式截然不同的方式,传统思维方式往往希望一遍做好,一次成功;但是迭代开发意味着反复地做,不断地根据反馈进行调整。 Iterate:?To say or do?again?or?again and again * photographyer@uestc.edu.cn 你还记得他么？ 匆匆那学期 你发过誓么？ 你的誓言实现了么？ 你努力过么？ 你后悔么？ * * * * * * 若插值结点 x0, x1,…,xn 是(n+1)个互异点,则满足插值条件P(xk)= yk (k = 0,1,···,n)的小于等于n次插值多项式 P(x)=a0 + a1x +……+ anxn 存在而且惟一。 多项式插值的存在唯一性定理 * 插值问题的存在唯一保证了插值多项式的唯一性的,但是插值多项式的形式是五花八门的。进一步的,对同一个具体问题,解法往往也不唯一, 难易也不同。 拉格朗日插值公式 插值基函数 * 插值误差余项 记 Ln(x)是满足Ln(xk)= f(xk)的n次插值多项式,则对任何x∈[a, b], 在(a, b)内存在一点 使得 定理5.2 设 f (x) 在[a, b]连续且在(a, b) 具有n+1阶导数, x0,x1,···,xn是[a, b]内互不相同的节点。 * 牛顿插值公式 定义5.3 若已知函数 f(x) 在点 x0,x1,···,xn 处的值 f(x0), f(x1), ···, f(xn)。如果 i ≠ j ,则 一阶差商 n阶差商 二阶差商 差商(divided difference) * 数据最小二乘拟合 x x1 x2 ·········· xm f(x) y1 y2 ·········· ym 例12求插值于点(0,2),(1,1),(2,0),(3,-1)的次数小于等于3的插值多项式的拉格朗日形式。 变型: 注意插值余项哦（唯一性） 例13 给出如下数据 x 0 1 2 4 y 1 9 23 3 * 设x0,x1,x2,…,xn为互异的结点,求证Lagrange 插值基函数满足下列恒等式 (1) (2) ( k = 1,···,n ) 证: (1) (2) * n阶Newton-Cotes公式代数精度至少为n阶。 例14 例15 设x0,x1,…,xn 是互异的插值结点, l0(x) 为对应于x0的拉格朗日插值基函数,试证明 x x0 x1 ·········· xn f(x) 1 0 ·········· 0 证 由基函数插值条件计算差商 ··· ··· 代入牛顿插值公式,并注意插值误差为零,则有 证明 f[ x0, x1,······, xn ] = 例16 记 ?n+1(x) =(x – x0)(x – x1)······(x – xn) 插值多项式相同,则xn 相同 f [ x0, x1,······, xn ] = 例17. 给定插值条件f(x0)=y0,f′(x1)=m1,f( x2)=y2,试求满足条件的插值多项式 * 解: 设 H(x) = a0 + a1x + a2x2 , H (x) = a1 + 2a2x 例18 给出函数f(x)=sinx的在区间[0,2π]等距节点表, 如用线性插值计算f(x)的近似值,使其截断误差为0.5*10-5 , 则函数表的步长应取多大？ 令g(x) = |( x – a )( x – b )| 例19. 已知不相容方程组