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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 、一 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 、 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1、设函数f(x)在(-m,t) 连续，其2阶导函数f”(x)的图形如下图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为 () (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】 (C) 【考点】拐点的定义 【难易度】★★ 【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异 号，因此，由f(x)的图形可知，曲线y=f(x)存在两个拐点，故选(C). 2、设是二阶常系数非齐次线性微分方程+ay+by=ce的 个特解，则() (A)a=-3,b=- 1,c=- 1. (B)a=3,b=2,c=- 1. (C)a=-3,b=2,c=1 (D)a=3,b=2,c=1 【答案】 (A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】 为齐次方程的解，所以2、1为特征方程λ2+ah+b=0 的根，从而 a=-(1+2)=-3,b=1×2=2, 再将特解y=xe代入方程y”-3y+2y=ce得：c=-1. 3、 若级 条件收敛，则x= √3与x=3依次为幂级的 ： (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】 (B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因 条件收敛，故x=2 为幂级 的条件收敛点，进而得的收敛半 径为1,收敛区间为(0,2),又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间， 的收敛区间仍为(0,2) 因而x= √3与 x=3 依次为幂级 的收敛点、发散点. 4、设D是第一象限中曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y= √3x围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续， 则 (A) (B) (C) (D) 【答案】 (D) 【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★*★ 【详解】由y=x 得 ，; 由y= √3x得 ， 由2xy=1得 ， 由4xy=1得 ， 所以 15、 设矩阵 1 件为 ,若集合Ω=(1,2),则线性方程组Ax=b有无穷多个解的充分必要条 (A)a±S2,d≠S2 (B)a±S2,d ∈S2 (C)a ∈S2,d≠Q (D)a ∈2,d ∈ 【答案】 (D) 【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★ 【详解】 Ax=b有无穷多解→R(A)=R(A,b)3 ?a=1或a=2 且d=1 或 d=2 6、设二次型f(x,x?x)在正交变换x=Py下的标准形为2yi+- ,其中 P=(e,e?e), 若Q=(c,-G,e2), 则f(x,x?,x)在正交变换x=Qy下的标准形为 (A)2y2-y2+y3 (B)2W+- (C)2x1-y?-y3 (D)2y1+y? +y 【答案】 (A) 【考点】二次型 【难易度】★★ 【详解】由x=Py, 故 且： 所以 f=x1Ax=y?(Q?AA)y=2y2-y2+y3 ,故选(A) 7、若A,B为任意两个随机事件，则 (A)P(AB)≤P(A)P(B) (B)P(AB)≥P(A)P(B) (C) (D) 【答案】(C) 【考点】 【难易度】★★ 【详解】 故选 8、设随机变量X,Y不相关 (A)-3 (B)3 (C)-5 (D)5 【答案】 (D) 【考点】 【难易度】★★★ 【详解】 E[X(X+Y-2)]=E[x2+XY-2X ] =E(x2)+E(XY)-2E(X) =D(X)+E2(X)+E(X)E(Y)-2E(X)=5 二、 填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. 9、 【答案】 【考点】极限的计算 【难易度】★★ 【详解】 10、 【答案】 【考点】积分的计算 【难易度】★★ 【详解】 11、若函数z=z(x,y)由方程e2+xyz+x+cosx=2确定，则dz|au= . 【答案】 【考点】隐函数求导 【难易度】★★ 【详解】令 F(x,y,z)=e2+xyz+x+cosx-2 ,则F=yx+1 sinx,F=xz,F=xy, 又当x=0,y=1时，z=0, 所 因而d