微积分第二章.pptVIP

设对同一变化过程 , ? , ? 为无穷小 , 说明: 无穷小的性质, 由等价 可得简化某些极限运算的下述规则. (1) 和差代替规则: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, (2) 因式代替规则: 界, 则 例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 例1. 求 解: 原式 例2. 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P79 例1-4 ～ ～ ～ ～ ～ 思考与练习 P94 28题2 , 4 作业 P94 28(1) , (3) , (5) 常用等价无穷小 : 第八节 目录 上页 下页 返回 结束 第八节 函数的连续性 一. 函数的增量（改变量） 二. 函数连续的定义 例1 证 由定义2知 单侧连续 性质2.14 例2 解 右连续但不左连续 , 连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. *连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. *对于连续函数，极限符号和函数符号可以交换. 例3 证 三、函数的间断点 P85 例题4-7 1.跳跃间断点 例4 解 2.可去间断点 例5 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如例5中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.(86页定义2.16) 特点 3.第二类间断点 例6 解 例7 解 注意： 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 小结:间断点 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 作业：30（2）、（4）、（6）、（8)3637（3）、（4） 刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在公元263年撰写的著作《九章算术注》以及后来的《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国数学史上的不朽地位.在几何方面，提出了割圆术，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.1416的结果。他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”他计算了3072边形面积并验证了这个值。刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年来中国圆周率计算在世界上的领先地位。刘徽在割圆术中提出的割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣，这可视为中国古代极限观念的佳作。 * 一尺之棰,就是一尺之杖.这个句子出自《庄子 天下篇》,是由庄子提出的.“一尺之捶,日取其半,万世不竭.”“一尺之捶”,今天取其一半,明天取其一半的一半,后天再取其一半的一半的一半,如是“日取其半”,总有一半留下,所以“万世不竭”.一尺之捶是一有限的物体,但它却可以无限地分割下去.这个辩论讲的是有限和无限的统一,有限之中有无限.这是辩证的思想.现在看来,这句话是不对的.物质不是无限可分的!借助于现在高能物理上的手段（加速器）我们可知道,物质只能分到夸克层面了.当然也有少数的的实验发现了诸如 1/3夸克或1/2夸克.但夸克不是无限可分的.而且已经探明,夸克没有什么内部结构. * * X * 若不讲“柯西准则”, 则点击“内容小结”按钮, 继续其它内容 * 运行时点击相片或柯西按钮, 可出现柯西简介 2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 ) ( 证明略 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 设 证明数列 极限存在 . (P52～P54) 证: 利用二项式公式 , 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 大 大 正 又 比较可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据准则 2 可知数列 记此极限为 e , e 为无理数 , 其值为 即 有极限 . 原题 目录 上页 下页 返回 结束 又 *3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P55) 数列 极限存在的充要条件是: 存在正整数 N , 使当 时, 证: “必要性”. 设 则 时, 有 使当 因此 “充分性” 证明从略 . 有 柯西 目录 上页 下页 返回 结束 故极限存在， 备用题 1.设 , 且 求 解： 设 则由递推公式有 ∴数列单调递减有下界， 故 利用极限存在准则 机动 目录 上页 下页 返