试验三水塔流量问题.docxVIP

实验三：水塔流量问题 【实验目的】 了解有关数据处理的基本概念和原理。 初步了解处理数据插值与拟合的基本方法，如样条插值、分段插值等。 学习掌握用 MATLAB 命令处理数据插值与拟合问题。 【实验内容】 某居民区有一供居民用水的圆形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间是无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约两小时。水塔是一个高12.2 米、直径 17.4 米的正圆柱。按照设计，水塔水位降到约8.2 米时，水泵自动启动，水位升到约 10.8 米时水泵停止工作。 某一天的水位测量记录如下表所示，试估计任何时刻（包括水泵正供水时） 从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。 水位测量启示录（//表示水泵启动） 时刻（h） 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 水位（cm） 968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 时刻（h） 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 水位（cm） // // 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 时刻（h） 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 水位（cm） 866 843 822 // // 1059 1035 1018 【实验任务分析】 问题的分析 流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。 水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为拟合的原始数据，我们希望水泵不工作时段的流量越准确越好。我们可以考虑先用表中数据拟合水位～时间函数，然后对之求导即可得到各时段的流量。有了任意时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如由某一时段水位下降量乘以水塔的截面积（水塔截面积是常数S ＝(17.4/2)2 ＝237.8（m2））就得到这一时段的用水量。这个数值可以还可以用 来检验拟合效果。 流量是时间的连续函数，只取决于水位差，与水位本身无关，与水泵是否工作无关。按照Torricelli 定律从小孔流出的液体的速度正比于水面高度的平方根， 题目给出水塔的最高和最低水位分别为 10.8 米和 8.2 米（设出水口的水位为 0）， 10.8 / 8.2因为 ＝ 10.8 / 8.2 定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的）。 水泵第 1 次供水时段为t ＝9.0 到t ＝11.0（小时），第 2 次供水时段为t ＝20.8到t ＝23.0（小时）。这是根据最高和最低水位分别为10.8 米和 8.2 米，及表1 的水位测量记录作出的假设，其中前 3 个时刻直接取自实测数据（精确到 0.1 小时），最后 1 个时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，第 2 次供水时段应 在记录的 22.96 小时之后不久结束）。水泵工作时单位时间的供水量大致为常数， 这个常数应该大于单位时间的平均流量。 首先考虑拟合水位～时间函数，从表 1 测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第 1 供水时段和第 2 供水时段），和三个水泵不工作时段（简称第 1 时段t ＝ 0 到t ＝8.97，第2 时段t ＝10.95 到t ＝20.84，第3 时段t ＝23 以后）。对第1、2 时段的测量数据可直接分别作多项式拟合，得到水位函数。为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般在 3～6 次。由于第 3 时段只有 3 个测量记录， 无法对这一时段的水位作出较好的拟合。 接着确定流量～时间函数，对于第 1、2 时段只需将水位函数求导数即可， 对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并将拟合得到的第 2 供水时段流量外推，将第 3 时段流量包含在第 2 供水时段内。 最后一天总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段（将第 3 时段包含在第 2 供水时段内）用水量之和，它们都可以由流量对时间的积分再乘以水塔截面积得到。 MATLAB 命令求解 拟合第 1、2 时段的水位，并导出流量，t，h 为时刻和水位测量记录（水泵启动的 4 个时刻不输入），程度代码如下： t=[0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 1