奇思妙想之后的解题教学.docVIP

- PAGE 7 - 奇思妙想之后的解题教学 广州市第八十七中学　袁忠民　 【摘要】：解题教学中的奇思妙解常常为数学课堂添彩，但处理不好就华而不实，流于走马观花的形式，或者沦为教师和少数尖子学生的独角戏.如何对大多数学生都有效？本文对此提出三点处理建议：①讲特殊解法同时对比通用解法；②揭示特殊解法中蕴含的数学思想；③归纳常用解题方法和技巧. 【关键词】：特解法 通法 数学思想 高中数学的解题教学中，有这样一种现象，一道经典题，一个巧解法，讲的时候很精彩，学生听的很有趣，但课后一检查，就发现多数学生好像什么都没学到，收效甚微. 如何改进解题教学中的这种问题，提高学习效果？著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力”.因此，解题教学中应当通过问题引导，按照“做－比－问”的方法，及时有效地反思总结.针对一个题目的巧妙解法，继续引导思考：①考点是什么？通法是什么？②巧解法是怎样想出来的？关键是那一步？自己为什么没想出来？这个方法体现什么数学思想？③能找到更好的解题途径吗？这个好方法能推广吗？正如波利亚所说的：“没有反思，他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面.通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力”.正所谓“好戏才刚刚开始”，在奇思妙解之后，还有大量细致的、更重要的反思要做.以下结合一些高考试题，对奇思妙解之后的解题教学予以阐述. 一、注重通法教学，发掘巧妙解法背后的故事 通法是针对特殊解法而言，它可以一法解多题，所以更有一般性.仅仅关注特殊解法，摒弃通法无疑舍本逐末，因此，介绍巧妙解法同时，揭示通法很有必要，理由有三： （1）一些通法本身就能快速解决问题 例1（2007上海高考理科13）已知为非零实数，且，则下列命题成立的是( ) A、 B、 C、 D、 奇思妙想—代入法：令，排除选项A、B、D 正解自现C. 对比通法：不等式两边同时乘以（大于零）故，所以C为正解. 表面上看，此特解法很快捷，但不可避免的是，它至少要回答这样的问题，为什么其它代入法，如令找不出答案？如果说需要在更多的经验积累之后才能掌握，那么，本例的通法体现了整式与分式之间的主动转换，直指答案，不是更好？更何况，这种处理在不等式性质中很常用，应当知晓. （2）某些通法涉及一般规律 下面两个例题分别是等差数列和等比数列常见题型，解题思路是多数师生的基本选择. 例2（2007年高考数学陕西卷理科第5题）各项均为正数的等比数列的前 项和为，若，，则等于（ ） A、16 B、26 C、30 D、80 奇思妙想—特例法：令，依题意，，易解得，从而，此时.正解为C. 对比通法1：为等比数列，故，，，成等比，由前3项 ，，为等比数列，得.解得（舍）或.所以，，，成等比即就是，，，成等比，显然，故.正解为C. 对比通法2：设等比数列的公比为，显然，所以由已知得 ，. 两式相除得方程. 即. 解得（舍），或，代入. 解得. 从而. 例3（1996全国高考卷理科12）等差数列{}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ） A、130 B、170 C、210 D、 奇思妙想—特例法：令m＝1，依题意＝30，＋＝100，则＝70，又{}是等差数列，进而＝110，故＝210.正解C. 对比通法1：，，，成等差，即30，70，-100成等差，故-100=110 =210. 对比通法2：设 . 从而得 ：. 同类型的题在历年高考中常见（2007年陕西文科、辽宁文、理等），特例法解法简明，巧妙，体现了全称命题正确特称命题一定正确的逻辑思路. 相比较而言，通法1涉及的规律源自课本，可参考人教A必修5课本第68页（2007第3版），该习题对这种题型的规律从等差等比两个方向做了引申，值得关注. 通法2的解法体现了一般性的思考，运用方程思想结合整体代换方法等常用简化运算技巧，是必须掌握的基本运算能力.通法2的好处还在于，当下标无等差或等比规律时，也适用，因此解题教学不能把兴趣仅仅停留在就题论题，特解法之后对比一般通法，能有效建立一般命题和特殊命题之间的双向沟通[2]，积累丰富的数学活动经验. （3）通法普遍联系双基，是基本功 例4（2007浙江理12）已知，且，则的值是 . （人教A必修4课本第147页第8题）. 奇思妙想—预知：显然，所以. 对比通法：由和联立方程组， 解得 从而. 此题特解法，结合经验，依据直觉，效率高.但不足之处，中下生往往是“丈二和尚摸不着头脑”，教师指导时需指出用此解法的三点思考：①同角关系式 .②勾股数3，4，5.③范围内，