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中考数学重难点专题讲座 第四讲 一元二次方程与二次函数 【前言】 前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三 讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线 没有想到，整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方 法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比拟高的要求。中考数学当中，代数问题往往 是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的 专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。 一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方 式考察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结 合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。 第一局部 真题精讲 1 2022 【例 】 ，西城，一模 ：关于的方程mx2  3(m 1)x  2m  3  0 ． ⑴求证：取任何实数时，方程总有实数根； ⑵假设二次函数y  mx2  3(m  1)x  2m 1 的图象关于轴对称． 1 ①求二次函数的解析式； ②一次函数y  2x  2 ，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的 2 函数值y ≥y 均成立； 1 2 ⑶ ⑵ y  ax2 bx  c (5 ，0) 在 条件下，假设二次函数 的图象经过点 ，且在实数范围内， 3 对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值 y ≥y ≥y ，均成立，求二次函数 1 3 2 y  ax2 bx  c 的解析式． 3 【思路分析】此题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比拟常见的关于一元二次方 程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论 M=0 M 0 Y 和 ≠ 两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于 轴对称的二 0 次函数的性质，即一次项系数为 ，然后求得解析式。第二问参加了一个一次函数，证明因 变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数恰好是抛物线的一条切线，只有一个 1 0 公共点〔 ， 〕。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是 a , y , , a 通过代点，将用只含 的表达式表示出来再利用 ≥y ≥y 构建两个不等式最终分析出 1 3 2 , . 为何值时不等式取等号于是可以得出结果 【解析】 1 解：〔〕分两种情况： 当时，原方程化为3x 3 0 ，解得， 〔不要遗漏〕 ∴当，原方程有实数根. 当m 0 时，原方程为关于的一元二次方程， 2 ∵  2   2   . △[3 m 1 ] 4m 2m