高等量子力学全套完整教学课件.pptx

高等量子力学量子力学基本概念和一般理论第一章【ch01】量子力学基本概念和一般理论.pptx【ch02】量子力学测量问题.pptx【ch03】二次量子化方法.pptx【ch04】辐射场的量子化及其与物质的相互作用.pptx【ch05】开放量子系统动力学.pptx【ch06】开放系统退相干.pptx【ch07】形式散射理论.pptx【ch08】相对论量子力学.pptx 01态矢量和力学量算符的表示 态矢量的定义态矢量服从的条件描述微观粒子状态的态矢量 等符号代表一个复矢量，而 是 的厄密共轭矢量或称“对 偶矢量”。用狄拉克符号记为 , 表示波函数 的右矢； 表示左矢。右矢和左矢是互相独立 的，但存在如下关系： 。量子态矢量01 量子态矢量01右矢 或左矢 的模定义任意态矢 在 下的表示其中，基矢满足正交归一化关系 以及完备性关系 。值得注意的是，零矢量不是希尔伯特空间可以解释为物理状态的要素。 量 子 算 符02线性算符定义设A为线性算符，则满足如下关系：式中， 和 为任意态矢， 和 名是任意复数。实际上量子力学中出现的算符绝大多数是线 性算符，以后在不做特殊说明的情况下我们讨论的算符都是线性算符。 线性算符的运算规则和性质设A 和 B 为任意线性算符， 和 是任意态矢量， I 为单位算符，则有量 子 算 符02 线性算符的运算规则和性质设A 和 B 为任意线性算符， 和 是任意态矢量， I 为单位算符，则有量 子 算 符02 02幺正变换的一般理论 态矢量和力学量算符表示的变换01线性算符的运算规则和性质首先，考察一个态矢量在不同表象，如A 表象和B 表象的表示之间的联系。设 为任意一 个态矢量，A 表象基矢记为 ,B 表象基矢记为 ,注意，A表象和B表象的维数不一定相等。利用A 表象基矢的完备性条件可得式中， 为态矢量 在B 表象中的表示， 是态矢量 在 A 表象中的表示，两者通过矩阵元的变换矩阵相联系。式(1.6)可记为矩阵形式 其中，从A 到 B 表象的变换矩阵为对于逆变换可如下获得。利用B 表象基矢的完备性条件可得由于, 所以式(1.11)可记为 相应的矩阵可表示为态矢量和力学量算符表示的变换01 因此我们得出结论：态矢量在不同表象表示之间的变换是通过幺正变换实现的，而幺正变换矩阵元即为新表象基矢左矢和原表象基矢右矢的内积。其次，考察力学量算符表示的变换。设力学量L 在A 表象中的矩阵元为 表象中的矩阵元为 , 利用A 表象基矢的完备性条件可得相应的矩阵形式为其中， U 是从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵式(1.9)。所以，与态矢量表示的变换式(1.6)或式(1.8) 相应，力学量算符表示必须按式(1.13)或式(1.14)做相应的变换，力学量算符的这种变换称为相似变换。态矢量和力学量算符表示的变换01 幺正变换具有许多非常有意义的性质(1)幺正变换下两个态矢量的内积不变。设态矢量从不带撇表示转化到带撇表示: 显然有 上述性质的一个重要推论是：任何态矢量的模，或者说它的归一化性质在幺 正变换下保持不变。特别地，在幺正变换下算符的对易关系保持不变。这个结论可以简单推导如下：设[A,B]=C,且A=UAU-1,B=UBU1 和 C=UCU-1, 则有上述说法也可更一般地表述为：算符矩阵元的形式保持不变。这可以简单证明为：(2)幺正变换下算符方程的形式不变。(3)幺正变换下力学量算符对应的平均值保持不变。幺正变换的基本性质02 幺正变换具有许多非常有意义的性质(4)幺正变换下算符的行列式不变。证明如下：由矩阵的行列式公式det(AB)=det A ·det B可得所以有(5)幺正变换下算符的本征值谱不变。因为确定算符本征值的方程是特征方程， , 所以利用性质(4)可得可见变换后由新表象中的特征方程所确定的本征值谱仍然是 。幺正变换的基本性质02 幺正变换具有许多非常有意义的性质(6)幺正变换下算符的迹不变。因为Tr(ABC)=Tr(BCA)=Tr(