不动点地性质与应用.docx

实用文档 不动点的性质与应用 一、不动点： 对于函数 f (x)(x ? D) ，我们把方程 f (x) ? x 的解 x 称为函数 f (x) 的不动点，即 y ? f (x) 与 y ? x 图 像交点的横坐标. 例 1：求函数 f (x) ? 2x ?1的不动点. 解：有一个不动点为1 例 2：求函数 g (x) ? 2x2 ?1 的不动点. 解：有两个不动点? 1 、1 2 二、稳定点： 对于函数 f (x)(x ? D) ，我们把方程 f [ f (x)] ? x 的解 x 称为函数 f (x) 的稳定点，即 y ? f [ f (x)] 与 y ? x 图像交点的横坐标. 很显然，若 x 为函数 y ? f (x) 的不动点，则 x 必为函数 y ? f (x) 的稳定点. 0 0 证明：因为 f (x ) ? x ，所以 f ( f (x )) ? f (x ) ? x ，故 x 也是函数 y ? f (x) 的稳定点. 0 0 0 0 0 0 例 3：求函数 f (x) ? 2x ?1的稳定点. 解：设 f (x) ? 2x ? 1，令2(2x ? 1) ? 1 ? x ，解得 x ? 1 故函数 y ? 2x ? 1有一个稳定点1 【提问】有没有不是不动点的稳定点呢？答：当然有例 4：求函数 g (x) ? 2x2 ?1 的稳定点. 解：令 g[g(x)] ? x ，则2(2x2 ?1)2 ?1 ? x ? 2(4x4 ? 4x2 ?1) ?1 ? x ? 0 ? 8x4 ? 8x2 ? x ?1 ? 0 ， 1 因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x 1 ? ? , x ? 1 2 2 ? 8x4 ? 8x2 ? x ?1必有因式(x ?1)(2x ?1) ? 2x2 ? x ?1 可得(x ?1)(2x ?1)(4x2 ? 2x ?1) ? 0 ?另外两解 x 3,4 ? ?1? ， 54 5 故函数 g (x) ? 2x2 ?1 的稳定点是? 1 、1、 ?1? ?1? 55? 1 5 5 ? 1 ? 5  ，其中 是稳定点，但不是不动点 2 下面四个图形，分别对应例 1、2、3、4. 文案大全 4 4 4 实用文档 y f (x) ? 2x ?1 y g (x) ? 2x2 ?1 y ? x y ? x x x 图-1 图-2 yg (x) ? 2x2 ?1y y g (x) ? 2x2 ?1 y ? x x y ? ? x ? 1 2 图-4 y ? x y ? 1 x 1 ?2 2 ? x 图-3 由此可见，不动点是函数图像与直线 y ? x 的交点的横坐标，稳定点是函数 y ? f (x)(x ? D) 图像与 曲线 x ? f ( y)( y ? D) 图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图像与其反函数图像交点的横坐标）. 由图 1 和图 3，我们猜测命题：若函数 y ? f (x)(x ? D) 单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或 者都没有. 证明：（1）1? 若函数 y ? f (x)(x ? D) 有不动点 x ，即 f (x ) ? x 0 0 0 ? f ( f (x )) ? f (x ) ? x ，故 x 也是函数 y ? f (x) 的稳定点； 0 0 0 0 2? 若函数 y ? f (x)(x ? D) 有稳定点 x ，即 f ( f (x )) ? x ， 0 0 0 假设 x 不是函数的不动点，即 f (x ) ? x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0①若f（x ）x ，则 f（f（x ））f（x ），即x f（x ）与f（x ）x 0 0 0 0 0 0 0 0 ②若f（x ）x ，则f（f（x ））f（x ），即x f（x ）与f（x ）x 矛盾，故不存在这种情况； 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0综上，f（x ）=x ? x 是 f（x 0 0 0 （2）1? 若函数 y ? f (x)(x ? D) 无不动点，由（1）知若函数有稳定点，则函数必有不动点，矛盾，故函数无稳定点； 2? 若函数 y ? f (x)(x ? D) 无稳定点，由（1）知若函数有不动点，则函数必有稳定点，矛盾，故函数无 不动点； 综上，若函数 y ? f (x)(x ? D) 单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有. 文案大全 实用文档 例 5、对于函数 f(x)，我们把使得 f(x)=x 成立的 x 称为函数 f(x)的不动点。把使得 f(f(x))=x 成立的 x 称为函数的 f(x)的稳定点，函数 f(x)的不动点和稳定点构成集合分别记为A 和B. 即 A={x|f(x)=x},B={