高中数学选修23第二章随机变量及其分布教案.docxVIP

第二章 随机变量及其分布 2．1．1 离散型随机变量 第一课时 思考 1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字 1 , 2 ，3，4，5，6 来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数 1 和 0 分别表示正面向上和反面向上（图 2.1 一 1 ) . 在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化． 定义 1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y， ? ，? ，… 表示． 思考 2：随机变量和函数有类似的地方吗？ 随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域． 例如，在含有 10 件次品的 100 件产品中，任意抽取 4 件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是 一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出 0 件次品” , {X =4｝表示“抽出 4 件次品”等．你能说出 ｛X 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？ 定义 2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为 0， 1，…，10；某网页在 24 小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为 0, 1,2，…. 思考 3：电灯的寿命X 是离散型随机变量吗？ 电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量． 在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过 1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量： ?0，寿命1000 小时； Y= ? ?1,寿命 ? 1000 小时. 与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值 0 和 1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易． 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量如某林场树木最高达 30 米，则林场树木的高度? 是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达 如投掷一枚硬币，? =0，表示正面向上，? =1， 表示反面向上 若? 是随机变量，?  ? a? ? b, a, b 是常数，则? 也是随机变量 三、讲解范例： 例 1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 一袋中装有 5 只同样大小的白球，编号为 1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出 3 只球，被取出的球的最大号码数 ξ； 某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η 解：(1) ξ可取 3，4，5 ξ=3，表示取出的 3 个球的编号为 1，2，3； ξ=4， 表 示 取 出 的 3 个 球 的 编 号 为 1，2，4 或 1，3，4 或 2，3，4； ξ=5，表示取出的 3 个球的编号为 1，2，5 或 1，3，5 或 1，4，5 或 2，3 或 3，4，5 （2）η 可 取 0，1，…,n，… η=i，表示被呼叫i 次，其中i=0,1,2,… 例 2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ 4”表示的试验结果是什么？ 答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6 六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ4”就是“ξ=5” 所以，“ξ4”表示第一枚为 6 点，第二枚为 1 点 例 3 某城市出租汽车的起步价为 10 元，行驶路程不超出 4km，则按 10 元的标准收租车费若行驶路程超出 4km，则按每超出 lkm 加收 2 元计费(超出不足 1km 的部分按 lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为 15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间