复积分的各种计算方法与应用.docxVIP

PAGE PAGE 10 第1章 引言 曹 研究背景及研究内容 复变函数的积分理论是复变函数理论的重要组成部分，是研究解析函数的重要工具之一.但对于如何计算复变函数积分以及如何处理有关复变函数积分的问题，往往很难迅速找到解决问题的方法.因此，理解复变函数积分，并能够灵活运用复积分计算方法进行复积分计算就显得极其重要.复积分中的 Cauchy 积分定理在理论上处于关键地位，由它派生出的Cauchy 积分公式、留数定理、辐角原理等都涉及到积分的计算问题.解析函数在孤立奇点的留数原本是一个积分，而实际计算却需要Laurent 展式.因而把积分与级数结合起来的留数定理使复积分理论甚至是复变函数理论达到高潮，且其用途十分广泛.因此，研究复变函数积分计算的各种方法有着非常重要的意义，本文以所列参考文献 [3]中的复积分计算方法为基础，并通过查阅相关资料，借鉴了文献[4]-[7]的结果，总结复积分计算的各种方法，并通过应用[1],[2],[8],[9]中的相关知识和方法，对所列出的每种方法作典型例证和分析. 预备知识 定义 1.1 [3] 复积分 设有向曲线 C ：z ? z?t ?, ?? ? t ? ? ?，以a ? z?? ?为起点， , z , zn?1 nb ? z?? ?为终点， f ?z?沿 C 有定义.顺着 C 从 , z , z n?1 n a ? z 0 , z , 1 ? b .把曲线 C 分成若干个弧段.在从 z 到 z k ?1 k ?k ? 1,2,.., n?的每 一弧段上任取一点? .作成和数 S k n ? ?n k ?1 f ?? ??z k k ，其中?z k ? z ? z k  k ?1 .当分点无限 增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数 S n 的极限存在且等于 J ，则 称 f ?z?沿 C (从 a 到b ）可积，而称 J 为 f ?z?沿 C (从 a 到b ）的积分，并记以 ? f ?z ?dz . C 称为积分路径. ? c c f ?z ?dz 表示沿 C 的正方向的积分， ? f ?z ?dz 表 c? 示沿 C 的负方向的积分. 定义 1.2 [3] 解析函数 如果函数 f ?z?在 z0 点及 f ?z?的某个邻域内处处可导， 那么称 f ?z? 在 z0 点解析，如果 f ?z?在区域 D 内解析就称 f ?z?是 D 内的一个解析 函数. 定义 1.3 [3] 孤立奇点 若函数 f ?z?在点的 z 邻域内除去点 z 外处处是解析的， 0 0 即在去心圆域 N (z ) ? ?z z ? z ? ? ?内处处解析，则称点 z 是 f ?z?的一个孤立奇 ? 0 0 0 点. 定义 1.4 [3] 留数 函数 f ?z?在孤立奇点 z 的留数定义为 1 ? f ?z ?dz ，记作 ?Re s ? f ?z ?, z ? 0  ?? . 0 2? i c 第 2 章 复积分的各种计算方法 复积分计算的常见方法 参数方程法 定理[3] 设光滑曲线C : z ? z(t) ? x(t) ? iy(t) (? ? t ? ?) ，( z?(t) 在[?, ?]上连续， 且 z?(t) ? 0 )，又设 f (z) 沿C 连续，则? f (z)d z ? ? ? f [z(t)]z?(t)d t .(? 、? 分别与 C ? 起、终点对应) 若曲线C 为直线段，先求出C 的参数方程 C 为过 z , z 1 2 点. 两点的直线段， C : z ? z 1 (z 2 ? z )t , t ?[0,1], z 1 1 为始点， z 为终 2 例 1 计算积分? i ?1 Re z d z ，路径为直线段. 解 设 z ? ?1? (i ?1)t ? (t ?1) ? it , t ?[0,1]，则 ? i Re z d z ? ? 1 (t ?1)i d t ? ? 2 t 2 ? ? 1 t ? i ? ? i 2 ? 1?1 0 ? ? 1 0 若曲线C 为圆周的一部分，例如C 是以a 为圆心， R 为半径的圆. 设C : z ? a ? R ，即 z ? a ? Rei? , ? ?[0, 2?] ，（曲线的正方向为逆时针）. 例 2 计算积分? z d z , C 为从?1到1 的下半单位圆周. C 解 设 z ? ei? , d z ? iei? d? , ? ?[??,0] ， ? z d z ? ? 0 C ?? i(cos? ? i sin?)d ? ? 2 . 用 Green 公式法也可计算复积分, Green 公式法是参数方程法的一种具体计算方法. 例 3 设 C 为可求长的 简单闭曲