直线的参数方程的几何意义.docxVIP

乐恩特文化传播有限公司 乐恩特文化传播有限公司 乐恩特教育个性化教学辅导教案 课 题 教学目标要 求 教学重难点分 析 直线的参数方程的几何意义 与直线的参数方程有关的典型例题与直线的参数方程有关的典型例题 教 学 过 程 知识要点概述 过定点 M  (x , y  ?x ? x ) 、倾斜角为? 的直线l 的参数方程为??0  t cos? （t 为参数）， ?0 0 0 ? y ? y ? t sin ? 0 其中 t 表示直线l 上以定点M 0 量， 为起点，任意一点 M（x，y）为终点的有向线段M M 的数 0 t , t A 的几何意义是直线上点到 M 的距离.此时,若 t0,则 的方向向上;若 t0,则 的方向向下;若 t=0,则点 与点M 重合. 由此，易得参数 t 具有如下 的性质：若直线l 上两点 A、B 所对应的参数分别为 ，则 B 性质一：A、B 两点之间的距离为| AB |?| t ? t | ，特别地，A、B 两点到M 的距离 A B 0 分别为| t A |,| t | . B  t ? t 性质二：A、B 两点的中点所对应的参数为 A 2 B ，若 M 是线段 AB 的中点，则 0 t ? t A B ? 0 ，反之亦然。 精编例题讲练 一、求直线上点的坐标 乐恩特文化传播有限公司 例 1．一个小虫从 P（1，2）出发，已知它在 x 轴方向的分速度是?3，在 y 轴方向的分速度是 4，问小虫 3s 后的位置Q。 分析：考虑 t ?x = x +at， ?的实际意义，可用直线的参数方程? 0 (t 是参数)。 ? 解：由题意知则直线 PQ  ?x = 1 ? 3 t， y = y 0 +bt  t 是参数，将 t=3s 代入得 Q （?8，12）。 的方程是? ，其中时间 ?y = 2 + 4 t 例 2．求点 A（?1，?2）关于直线 l：2x ?3y +1 =0 的对称点 A 的坐标。 ?x = ?1 ? 解：由条件，设直线 AA 的参数方程为 ? ?y = ?2 + t ， 13 (t 是参数)， 13 t ∵A 到直线 l 的距离 d = 5 ， ∴ t = AA = 10 ， 13 13 代入直线的参数方程得 A (? 33 4 13，13)。 点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。 二 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离 例 1.设直线 经过点 (1,5),倾斜角为 , 求直线 和直线 求直线 和圆 的交点到点的两个交点到点 的距离; 的距离的和与积. 解:直线 的参数方程为 ( t 为参数) 将直线 的参数方程中的x,y 代入 ,得t= .所以,直线 和直线 的交点到点 的距离为 将直线 的方程中的 x,y 代入 ,得 设此方程的 两 根 为 = , 则 = =10. 可 知 均 为 负 值 , 所 以 乐恩特文化传播有限公司 点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。 三 求直线与曲线相交的弦长 例 1 过抛物线 的焦点作斜角为 的直线与抛物线交于A、B 两点，求|AB|. 解 因直线的倾角为程为 ，则斜率为－1，又抛物线的焦点为 F(1，0)，则可设 AB 的方 ( 为参数) 代入 整理得 由韦达定理得t ＋t = ，t t =－16。 1 2 1 2 ∴ = = = . 例 2 已知直线 L:x+y-1=0 与抛物线 y= A,B 两点的距离之积. 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长和点 M(-1,2)到 解 : 因为直线 L 过定点 M, 且 L 的倾斜角为 , 所以它的参数方程是 (t 为参数) 即 (t 为参数) 乐恩特文化传播有限公司 把它代入抛物线的方程,得 解得 由参数t 的几何意义得 点评:本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点 M(-1,2)在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数t 的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标, 再用距离公式求交点距离简便一些. 四、求解中点问题 例 1,已知经过点P(2,0),斜率为的中点为M,求点M 的坐标. 的直线和抛物线 相交于A,B 两点,设线段AB 解:设过点P(2,0)的直线AB 的倾斜角为 ,由已知可得: cos , 所以,直线的参数方程为 (t 为参数) 代入 ,整理得 中点 M 的相应的参数是 = 所以点M 的坐标为 点评:在直线的参数方程中,当t0,则 的方向向上;当t0,则 的方向向下,所以A,B 中点的M 所对应的t 的值等于 ,这与二点之点的中点坐标有点相同. 2例 2．已知双曲