用洛必达法则解决导数问题.docxVIP

如果当（或）时，两个函数与 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限可能存在， 也可能不存在，通常把这种极限称为未定式，并分别简记为或。洛必达（L’Hospital）法则： 设（1）当时，函数及都趋于零； 在点的某去心邻域内，及都存在且； 存在（或为无穷大）； 那么 1 用洛必达法则求下列极限 lim ln(1 ? x) x?0 x lim ex ? e? x x?0 sin x lim sin x ? sin a x?a x ? a lim sin 3x x?? tan 5x lim ln sin x ?? (? ? 2x)2 ? x 2 lim xm  am  lim ln tan 7x  lim  tan x  ln(1 ? 1 ) lim x lim x?a xn ? an ln(1 ? x 2 ) x??0 ln tan 2x ? tan 3x x? 2 x??? arc cot x ???x?0 sec x ? cos x ? ? ? lim x cot 2x  1 lim x 2 e x2 (13)  lim? 2 1 ? lim (1 ? x?0 a ) x  lim xsin x x?0 x?1? x 2 ? 1 x ? 1 ? x???x (16) 1  tan x x??0 lim ( ) x??0 x 例题：设函数 f (x) ? ex  ?1 ? x ? ax2 . （Ⅰ）若a ? 0 ，求 f (x) 的单调区间； （Ⅱ）当 x ? 0 时， f (x) ? 0 ，求a 的取值范围. 应用洛必达法则和导数 （Ⅱ）当 x ? 0 时， f (x) ? 0 ，即ex  ?1? x ? ax2 . ①当 x ? 0 时， a ? R ；②当 x ? 0 时， ex ex ?1? x ?1? x ? ax2 等价于a ? . x2 ? ?ex ?1? x (x ? 2)ex ? x ? ? ? 记 g(x) ? x (0，+ ) ，则 g (x) ? . x2 x3 记 h(x) ? (x ? 2)ex ? x ? 2 x ?(0，+?) ， 则 h (x) ? (x ?1)ex ?1 ， 当 x ?(0，+?) 时 ， h (x) ? xex ? 0 ，所以 h (x) ? (x ?1)ex ?1在(0，+?) 上单调递增，且 h (x) ? h (0) ? 0 ，所 以 h(x) ? (x ? 2)ex ? x ? 2 在(0，+?) 上单调递增，且h(x) ? h(0) ? 0 ，因此当 x ?(0，+?) 时， g (x) ? h(x) x3 ? 0 ，从而 g(x) ? ex ?1? x x2 在(0，+?) 上单调递增. 由洛必达法则有， lim g (x) ? lim ex ?1? x  ? lim ex ?1 ? lim ex ? 1 x?0 x?0 x2 x?0 2x x?0 2 2 即当 x ? 0 时， g (x) ? ，所以当 x ?(0，+?) 时，所以 g(x) ? ，因此a ? . 1 1 12 2 2 1 1 1 综上所述，当a ? 1 且 x ? 0 时， f (x) ? 0 成立. 2 练习 已知函数 f (x) ? x(ex  ?1) ? ax2 . （Ⅰ）若 f (x) 在 x ? ?1 时有极值，求函数 f (x) 的解析式； （Ⅱ）当 x ? 0 时， f (x) ? 0 ，求a 的取值范围.