直线、平面垂直判定及其性质.docxVIP

第五节 直线、平面垂直的判定及其性质 ———————————————————————————————— [考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些 空间图形的垂直关系的简单命题． 直线与平面垂直 定义：如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，则直线 l 与平面 α 垂直． 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 直线和平面垂直的性质： ①垂直于同一个平面的两条直线平行． ②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． 当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为 90°和 0°. 二面角的有关概念 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 平面与平面垂直 定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 文字语言 图形语言 符号语言 一个平面过另一个平面 判定 l⊥α? 的垂线，则这两个平面 定理 垂直 l?β? ?α⊥β ? 两个平面垂直，则一个 性质 α⊥β l?β ? ? 平面内垂直于交线的直 ?l⊥ 定理 α∩β＝a? 线与另一个平面垂直 l⊥a α 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.( ) 垂直于同一个平面的两平面平行．( ) 若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( ) (4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平 面．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．(教材改编)设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l?α， m?β.( ) 若 l⊥β，则 α⊥β 若 α⊥β，则 l⊥m 若 l∥β，则 α∥β 若 α∥β，则 l∥m A [∵l⊥β，l?α，∴α⊥β 面面垂直的判定定理 ，故 A 正确．] 3．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面 α，β 交于直线 l，若直线 m，n 满 足 m∥α，n⊥β，则( ) A．m∥l C．n⊥l B．m∥n D．m⊥n C [∵α∩β＝l，∴l β. ∵n⊥β，∴n⊥l.] 如图7-5-1，已知 PA⊥平面 ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为 ． 图 7-5-1 4 [∵PA⊥平面 ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 则△PAB，△PAC 为直角三角形． 由 BC⊥AC，且 AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面 PAC，从而 BC⊥PC. 因此△ABC，△PBC 也是直角三角形．] 边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则折叠后 AC 的长为 ． a [如图所示，取 BD 的中点 O，连接 A′O，CO，则∠A′OC 是二面角 A′-BD-C 的平面角． 即∠A′OC＝90°，又 A′O＝CO＝ 2 ， 2 a ∴A′C＝ a2 a2 2 ＋ 2 ＝a，即折叠后 AC 的长(A′C)为 a.] 线面垂直的判定与性质 线面垂直的判定与性质 如图 7-5-2，在三棱锥 A-BCD 中，AB⊥平面 BCD，CD⊥BD. 求证：CD⊥平面 ABD； 图 7-5-2 若 AB＝BD＝CD＝1，M 为 AD 中点，求三棱锥 A-MBC 的体积． [解] (1)证明：因为 AB⊥平面 BCD，CD?平面 BCD， 所以 AB⊥CD.2 分 又因为 CD⊥BD，AB∩BD＝B， AB?平面 ABD，BD?平面 ABD， 所以 CD⊥平面 ABD.5 分 (2)由 AB⊥平面 BCD，得 AB⊥BD. 又 AB＝BD＝1，所以 S 1 12 1 分 △ABD＝2× 2△因为 M 是 AD 的中点，所以 2△ ＝2.8 1 1 根据(1)知，CD⊥平面 ABD， ABM＝ S △ABD＝4. 则三棱锥 C-ABM 的高 h＝CD＝1， 故 V ＝V 1 ·h＝ 1 .12 分 A-MBC C-ABM＝ S ABM 12 3△ 3 [规律方法] 1.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理； 垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)； 面面