角平分线模型的构造.docx

,. ,. 3 月 3 月 角平分线 MA M A P (l)若 PA⊥OM 于点 A，如图 2-2(a)，可以过 P 点作 PB⊥ON 于点 B，则 PB=PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”． M M A P O αα α α B N O B N (b) 图2-1 角平分线的性质定理 ①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角， ②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线的判定定理 ①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线， ②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上， 与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型， 已知 P 是∠MON 平分线上一点， 若点 A 是射线 OM 上任意一点，如图 2-2(b)， 可以在 ON 上截取 OB=OA，连接 PB，构造△OPB ∽△OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”． MAPMQP若 AP⊥OP 于点 P，如图 2-2(c)，可以延长 AP 交 ON 于点 B，构造△AOB 是等腰三角形，P 是底边 M A P M Q P O (c) B N O (d) N 若过 P 点作 PQ∥ON 交 OM 于点 Q，如图2-2(d)，可以构造△POQ 是等腰三角形，可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现”． 例 1 如图 2-3(a)，在△ABC 中，∠C=90。，AD 平分 ∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点 D 到直线 AB 的距离是（ ）cm. A C D B 图2-3（a） (2)如图 2-3(b)，已知：∠1=∠2，∠3=∠4， 求证：AP 平分∠BAC． BC B C 1 2 3 4 P  例 2 如图 2-4(a)，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB， 垂足为 D. AF 平分∠CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F ⑴求证：CE= CF. C FED F E D 图2-4（a） 图2-3（b） ⑵将图 2-4(a)中的△ADE 沿 AB 向右平移到△A，D， E，的位置，使点 E，落在 BC 边上，其它条件不变， 如图 2-4(b)所示．试猜想：BE与 CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论． FEED F E E D A D A P C AP A P C A B 图2-4（b）  O N O B N 图2-5（a） 图2-5（b） 请根据上面的学习材料，解答下列各题： (l)如图 2-5(c)所示，在△ABC 中，AD 是△BAC 的外角平分线，P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，试比较 PB+PC 与 AB+AC 的大小，并说明理由． ACB A C 图2-5（c） 例 3 阅读下列学习材料： 如图 2-5(a)所示，OP 平分∠MON，A 为 OM 上一点，C 为 OP 上一点，连接 AC，在射线 ON 上截取 OB =OA，连接 BC(如图 2-5(b))，易证△AOC ≌△BOC.  如图 2-5(d)所示，AD 是△ABC 的内角平分线， 其它条件不变，试比较 PC－ PB 与 AC－AB 的大小，并说明理由． A PB D C P 图2-5（d） 例 4 如图 2-6(a)，已知等腰直角三角形 ABC 中，∠ A=90°，AB=AC，BD 平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点 E， 求证：BD=2CE. 如图 2-7(a)，BD、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点 A 作 AD 上 BD、AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接 DE. 求证：DE∥BC，DE= 1 (AB+BC+AC)； 2 EA E D B C 图2-7（a） A E D B C 图2-6（a） 如图 2-7(b)，BD、CE 分别是△ABC 的内角平分线，其它条件不变； GF G F E D B C 图2-7（b） 如图 2-7(c)，BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，其它条件不变， 则在图 2-7(b)、图 2-7(c)两种情况下，DE 与 BC 还平行吗？它与△ ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。 A DF D F B C 图2-7（c） 变式 如图 2-8，在△ABC 中，AB=3AC, ∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，过点 B 作 BE⊥AD，垂足为 E， 求证：AD=DE DA D C B 图2-8 E 如图 2-9(d)，BD 平分∠ABC，CD 平分外角∠ ACG. DE∥BC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F 线段 EF与 BE、CF 有什么关系？并说明理由． AE A E