高中数学切线放缩中的目标意识.docxVIP

切线放缩中的目标意识 湖南邵阳杨歆琪在前面的文章中，笔者已经提到了不等式的一种放缩技巧——切线放缩，即利用函数图像与其切线的关系实现“以曲代直”，将任意形式的代数式放缩成一次式，下面给出几则例子： 对于指数函数 y ? ex ，分别取 x ? 0,1,?1,ln 2 处的切线，可以得到如下不等式： ex ? x ? 1 ； ex ? ex ； ex ? 1 x ? 2 ； ex ? 2 ?x ? ln 2?? 2 （由此轻松可得ex ? 2x ? 1 ）. 1e e 2 1 对于对数函数 y ? ln x ，分别取 x ? 1,e, e2 , 处的切线，可以得到如下不等式： e ln x ? x ?1； ln x ? x ； ln x ? x ?1； ln x ? ex ? 2 . e e2 利用切线放缩，可以得到如此多的结果，那么针对一个具体的问题时，哪个（最多哪些）放缩是有效的呢？这就需要我们充分分析题目，明确放缩的目的和方向，有时还需要从精确度的角度来做出选择（因为切线放缩得到的不等式在切点附近较精确）.下面以一道试题为例，体会切线放缩所需要的目标意识. ?a ? b?2 a2 ?1 ? b2 ? 4 a2 ?1 ? b2 ? 4 的最小值为 . 笔者初拿此题，第一时间想到的是三角代换（因为有范围和根式）和几何构造（因为有根式和平方），初步探索之后并没有得到一个明朗的做法（当然后面有其他老师做出来了），于是又转而用切线放缩，笔者为什么会觉得切线放缩有可能成功呢？因为我们对下述代数式的最值是不陌生的： ?a ? b?2 a2 ?1b2 ? 4y ? a a2 ?1 b2 ? 4 二次 这是一个典型的 一次  型，换元，令t ? a ? b ?1 ，即可轻松求得最值.由此想到，如果能把分母 ? 放缩成关于?a ? b?的一次式，不就迎刃而解了吗？而这种放缩恰恰是切线放缩的功能所在. m2 ?1通过简单计算，可知函数 f ?a?? a2 ?1 在 a ? m 处的切线为 y m2 ?1 ?a ? m??  m2 m2 ?1 a2 ?1m2 ?1m2 ? a2 ?1 m2 ?1 m2 ?1 ，当且仅当 a ? m 时取等号. b2 ? 4函数 g ? b2 ? 4 在b ? n 处的切线为 y ? ?b ? n??  n2 n2 ? 4 n2 ? 4b2 ? 4n2 ? 4n2 ? 44? n n2 ? 4 b2 ? 4 n2 ? 4 n2 ? 4 4 从而有  b2 ? 4a2 ?1 b2 ? 4  ? m a ?  n b ? 1  ? 4 （*）. m2 ?1n2 ? 4m2 ?1n2 ? 4 m2 ?1 n2 ? 4 m2 ?1 n2 ? 4 m n m2 ?1n m2 ?1 n2 ? 4 解得 n ? 2m .代入（*）时，得 a2 ? a2 ?1 b2 ? 4  ? m ?a ? b?? 3 . m2 ?1m2 ?1令t ? a ? m2 ?1 m2 ?1 m  ?a ? b?2 a a2 ?1 ? b2 ? 4 ?a ? b?2 ? ? 3 ? ? 3 m2 ?1m2 ?1 m2 ?1 m2 ?1 m2 ?1?a ? m2 ?1 m? m a ? b ? 3 m m2 ?1?? m2 ?1 ? ? ? 3 ?2 m? m ? m t m2 ?1? ?? ? t ? 9 m2 ?1 ? ? m ? m2t m ? 显然，上式当且仅当t ? 9 ，即t ? a ? b ? 3 ? 3 时取得最小值.将以上各步放缩的取等条件联立，得 m2t m m ?a ? m ?b ? n ??n ? 2m ? ? ?a ? b ? 3 ? 3 ?? m m 2解得 m ? 2, n ? 2 2 . 到此，我们就找到了我们需要的切线放缩公式： a2 ?1? 2a ?1，当且仅当a a2 ?1  2时取等号. 2 b2 ? 42? 2b ? 2 ，当且仅当b b2 ? 4 2 时取等号. 分析过程已经结束，在组织答案的过程中，还需对上述不等式进行证明，参考过程如下所示： 解：易证当 解：易证当 a ? 1,b ? 2 时， a2 ? 1 ? 2a ? 1 ， b2 ? 4 ? 2b ? 2 ，事实上，有 a2 ?1 ? 2a ?1 ? a2 ?1 ? 2a2 ? 2 2a ? 1 ? a2 ? 2 2a ? 2 ? 0 ? a ? ? 2 ? 0 ， ?2 b2 ? 4 ? 2b ? 2 ? b2 ? 4 ? 2b2 ? 4 2a ? 4 ? b2 ? 4 2b ? 8 ? 0 ? b ? 2 ? 2 ? 0 ， ?2 所以 a2 ? 1 ? 2a