线性系统理论精简系统的稳定性演示文稿.pptVIP

如果在某个邻域内， 即可为正值也可为负值， 则称 为不定的。 (5) 不定性 例5-6 当前第31页\共有49页\编于星期二\13点 3.二次型标量函数定号性判别准则（塞尔维斯特准则） 设 为二次型函数, 即 ,P 为实对称矩阵， 与P 的定号性相同 （1）P正定的充要条件是，P 的各阶主子行列式 （2）P负定的充要条件是， （3）P半正定的充要条件是， （4）P半负定的充要条件是， 当前第32页\共有49页\编于星期二\13点 说明：各阶主子式大于零指的是 当前第33页\共有49页\编于星期二\13点 5.4.3 李氏稳定性基本定理 设系统的状态方程为 平衡状态为 。 下面是李氏第二法判定系统平衡状态稳定性的 几个基本定理。 1. 渐近稳定判定定理一 2. 渐近稳定判定定理二 3. 稳定判定定理 4. 不稳定判定定理 当前第34页\共有49页\编于星期二\13点 1. 渐近稳定判定定理一 如果存在标量函数 v(x)，满足 则原点处的平衡状态是渐近稳定的。 当 时，有 ，则原点处的平衡状 态是大范围渐近稳定的。 提示：范数或者模。 当前第35页\共有49页\编于星期二\13点 例5-7 已知非线性系统的状态方程为 试分析其平衡状态的稳定性。 解： （1）由平衡方程得 解出唯一平衡状态为原点，即 。 当前第36页\共有49页\编于星期二\13点 （2）选取李氏函数为 对时间的导数为 根据李氏渐近稳定定理一，系统在原点处是渐近稳定的。 又由于当 时，有 ，所以系统在原点 处是大范围渐近稳定的。 当前第37页\共有49页\编于星期二\13点 线性系统理论精简版系统的稳定性演示文稿 当前第1页\共有49页\编于星期二\13点 （优选）线性系统理论精简版系统的稳定性 当前第2页\共有49页\编于星期二\13点 内部稳定性：系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性。即状态稳定。内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。 现代控制理论讨论的稳定性主要为内部稳定性。 内部稳定性和外部稳定性在满足一定条件下是等价的（后面讨论）。 当前第3页\共有49页\编于星期二\13点 经典理论判稳方法及局限性 间接判定：方程求解－(对非线性和时变通常很难) 直接判定：单入单出中，基于特征方程的根是否都分布在复平面虚轴的左半部分；以及采用劳斯判据、奈魁斯特频率判据等。局限性是仅适用于线性定常，不适用于非线性和时变系统。 当前第4页\共有49页\编于星期二\13点 现代控制理论判稳方法： 李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于 各种系统。 李亚普诺夫第一法：先求解系统微分方程，根据解的性质判定稳定性－－间接法。 李亚普诺夫第二法：直接判定稳定性。思路：构造一个李亚普诺夫函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。－－对任何复杂系统都适用。 当前第5页\共有49页\编于星期二\13点 5.2 李雅普诺夫稳定性相关概念 平衡态 李雅普诺夫意义下的稳定性 渐近稳定性 大范围渐近稳定性 不稳定性 平衡态稳定性与输入输出稳定性的关系 当前第6页\共有49页\编于星期二\13点 平衡态 设系统的状态方程为 式中， 维状态向量； 维向量函数，它可以 是线性、非线性、定常或时变的。 若系统存在状态 ，对所有的 t0 都满足 称 为系统的平衡状态。 提示：自治系统。 当前第7页\共有49页\编于星期二\13点 从定义可知，平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点(状态)。 由于导数表示的状态的运动变化方向，因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态，如右图所示。 当前第8页\共有49页\编于星期二\13点 李雅普诺夫稳定性研究的平衡态附近(邻域)的运动变化问题。 若平衡态附近某充分小邻域内所有状态的运动最后都趋于该平衡态，则称该平衡态是渐近稳定的; 若发散掉则称为不稳定的； 若能维持在平衡态附近某个邻域内运动变化则