专题11 三角形与四边形（传统解答证明题）-备战中考数学压轴题分类（全国通用）（含答案析）.docx

专题11三角形与四边形（传统解答证明题） 一、解答题 1．（2021·湖北十堰·中考真题）已知等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连． （1）如图1，直接写出线段与的数量关系； （2）如图2，当点P、B在同侧且时，求证：直线垂直平分线段； （3）如图3，若等边三角形的边长为4，点P、B分别位于直线异侧，且的面积等于，求线段的长度． 【答案】（1）AP=BQ；（2）见详解；（3）或或 【分析】 （1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质，可得CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，AC=BC，进而即可得到结论； （2）先证明是等腰直角三角形，再求出∠CBD=45°，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论； （3）过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l，根据，可得AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，设AP=x，则BQ=x，MQ=x-，QF=( x-)×，再列出关于x的方程，即可求解． 【解析】 （1）证明：∵线段绕点C逆时针方向旋转得到， ∴CP=CQ，∠PCQ=60°， ∵在等边三角形中，∠ACB=60°，AC=BC， ∴∠ACP=∠BCQ， ∴， ∴=； （2）∵，CA⊥l， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形，∠CBQ=90°， ∵在等边三角形中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°， ∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°， ∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°， ∴∠CBD=180°-75°-60°=45°， ∴PD平分∠CBQ， ∴直线垂直平分线段； （3）①当点Q在直线上方时，如图所示， 延长BQ交l与点E，过点Q作与点F， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 即， 解得或， 即AP的长度为或； ②当点Q在直线l下方时， 过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l， 由（1）小题，可知：， ∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°， ∵∠ACB=60°，∠CAM=90°， ∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°， ∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4， ∴BE=， ∴BM=BE÷sin60°=2÷=， 设AP=x，则BQ=x，MQ=x-，QF= MQ×sin60°=( x-)×， ∵的面积等于， ∴AP×QF=，即：x×( x-)×=，解得：或（不合题意，舍去）， ∴AP=． 综上所述，AP的长为：或或． 【点睛】 本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意画出图形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 2．（2021·辽宁大连·中考真题）已知，，． （1）找出与相等的角并证明； （2）求证：； （3），，求． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】 （1）根据三角形外角的性质直接求解即可； （2）在BF上截取BP，使AE=BP，即可证明，进一步证明和均为等腰三角形且顶角相等，即可证明； （3）由（2）可得，即可得，设，则，根据，可求得，即可证明，列比例求出，代入以上数据即可求得的值． 【解析】 （1）根据题意可知， ， ， ； （2）如图，在BF上截取BP，使AE=BP， 由（1）得， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 和均为等腰三角形， 又， ， 和为顶角相等的等腰三角形， ， ； （3）又（1）可知， ， ， 设，则， ， ， ， 则， ， ， ， ， ，即， 由此得， 则， ． 【点睛】 本题主要考查三角形综合，涉及到的知识点有，等腰三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，根据题意用含字母的式子表示出AE和MF的值是解题关键． 3．（2021·湖南娄底·中考真题）如图①，是等腰的斜边上的两动点，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图②，作，垂足为H，设，不妨设，请利用（2）的结论证明：当时，成立． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解． 【分析】 （1）△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，由CD⊥BC，可求∠DCA=∠ABE即可； （2）由△ABE≌△ACD，可得∠FAD=∠EAF，可证△AEF≌△ADF（SAS），可得EF=DF，在Rt△CDF中，根据勾股定理，即可； （3）将△ABE逆时针绕点A旋转90°到△ACD，由△ABC为等腰直角三角形，可求∠DCF=90°，由，在Rt△ABC中由勾股定理，由AH⊥BC，可求BH=CH=AH=，可表示EF= tanα+ tanβ,BE =1-tanα,CF= 1-tanβ，可证△AEF≌△ADF（SAS），得到EF