6-用配方法化二次型为标准型_2.pdf

一一、、拉拉格格朗朗日日配配方方法法的的具具体体步步骤骤 　　　　用用正正交交变变换换化化二二次次型型为为标标准准形形，，其其特特 是是保保 持持几几何何形形状状不不变变．． 　　　　问问题题　　有有没没有有其其它它方方法法，，也也可可以以把把二二次次型型化化 为为标标准准形形？？ 　　　　问问题题的的回回答答是是肯肯定定的的。。下下面面介介绍绍一一种种行行之之有有 效效的的方方法法————拉拉格格朗朗日日配配方方法法．． 拉拉格格朗朗日日配配方方法法的的步步骤骤 　　　　11..　　若若二二次次型型含含有有 的的平平方方项项，，则则先先把把含含有有 的的乘乘积积项项集集中中，，然然后后配配方方，，再再对对其其余余的的变变量量同同 进进行行，，直直到到都都配配成成平平方方项项为为止止，，经经过过非非退退化化线线 性性变变换换，，就就得得到到标标准准形形;; 　　　　22..　　若若二二次次型型中中不不含含有有平平方方项项，，但但是是 则则先先作作可可逆逆线线性性变变换换 化化二二次次型型为为含含有有平平方方项项的的二二次次型型，，然然后后再再按按11中中方方 法法配配方方.. 例例11 解解 含含有有平平方方项项 去去掉掉配配方方后后多多出出来来的的项项 所所用用变变换换矩矩阵阵为为 例例22 解解 由由于于所所给给二二次次型型中中无无平平方方项项，，所所以以 再再配配方方，，得得 所所用用变变换换矩矩阵阵为为 二二、、小小结结 　　　　将将一一个个二二次次型型化化为为标标准准形形，，可可以以用用正正交交变变换换 法法，，也也可可以以用用拉拉格格朗朗日日配配方方法法，， 者者其其它它方方法法，， 这这取取决决于于问问题题的的要要求求．．如如果果要要求求找找出出一一个个正正交交矩矩 阵阵，，无无疑疑应应使使用用正正交交变变换换法法；；如如果果只只需需要要找找出出一一 个个可可逆逆的的线线性性变变换换，，那那么么各各种种方方法法都都可可以以使使用用．． 正正交交变变换换法法的的好好处处是是有有固固定定的的步步骤骤，，可可以以按按部部就就 班班一一步步一一步步地地求求解解，，但但计计算算量量通通常常较较大大；；如如果果二二 次次型型中中变变量量个个数数较较少少，，使使用用拉拉格格朗朗日日配配方方法法反反而而 比比较较简简单单．．需需要要注注意意的的是是，，使使用用不不同同的的方方法法，，所所 得得到到的的标标准准形形可可能能不不相相同同，，但但标标准准形形中中含含有有的的项项 数数必必定定相相同同，，项项数数等等于于所所给给二二次次型型的的秩秩．． 思思考考题题 思思考考题题解解答答