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* 第一章 代数方程的计算机方法 k xk k xk 1 0.741332420 8 0.909375718 2 0.836407006 9 0.909720121 3 0.877127740 10 0.909876790 4 0.895169427 11 0.909948068 5 0.903281143 12 0.909980498 6 0.906952162 13 0.909995253 7 0.908618410 14 0.910001967 第三十页，共七十页，2022年，8月28日 * 第一章 代数方程的计算机方法 3x 3x 第三十一页，共七十页，2022年，8月28日 * 第一章 代数方程的计算机方法 k xk k xk 1 3.604138226 9 3.732170148 2 3.662777674 10 3.732592036 3 3.695055862 11 3.732818105 4 3.712603634 12 3.732939234 5 3.722079126 13 3.733004132 6 3.727177123 14 3.733038902 7 3.729914576 15 3.733057531 8 3.731382952 16 3.733067511 第三十二页，共七十页，2022年，8月28日 * 第一章 代数方程的计算机方法 2 牛顿法 牛顿法也是一种求解代数方程式的数学迭代方法。它的基本思想是：为了把根夹住，先找到两个异号的值在两个异号的值之间选取方程f(x)=0根的一个估计值x0 ，然后将f(x)=0在x0处进行泰勒展开： f(x1)=f(x0)+f’(x0)(x1-x0)+1/2f”(x0)(x1-x0)2+…=0 因为x0是在f(x0)的根值附近，所以，令：h=x1-x0是一个很小值则h2更是一个极小值，所以将泰勒展开式的右边的第三项以后的项都有忽略（作为误差来处理） 第三十三页，共七十页，2022年，8月28日 * 第一章 代数方程的计算机方法 也即： 移项得： 得到 第三十四页，共七十页，2022年，8月28日 * 第一章 代数方程的计算机方法 y x y=f(x) x* x0 x1 x2 图4牛顿法的几何解释 第三十五页，共七十页，2022年，8月28日 * 第一章 代数方程的计算机方法 写成通式，从而得到牛顿迭代公式： (13) 这里xn+1是在x=xn 处曲线的切线与x轴的交点。由于曲线f(x)不是直线，f(xn+1)就不可能是真正的零。因此，就必须以xn=xn+1作为新的基点，重复以上步骤，直至f(xn+1)充分小 牛顿法的实质是沿着曲线上的一点切线作外推，而不是在两个函数之间作内插。这可以从图4中看出: ？ 切线与X轴的交点 第三十六页，共七十页，2022年，8月28日 * 第一章 代数方程的计算机方法 从图4中很明显的看出，起点位置的选择会显著的影响收敛速度。另外，这种方法的缺点是： 1、在迭代过程中，一但曲线的斜率f ’(x)=0，就无法迭代下去了。 2、还可以证明当f’’(x)趋于无穷大时，牛顿法也将失效。 其证明可以直接从函数的泰勒展示式中得到。即： 当f’’(x)趋于无穷大时 f(x1)=f(x0)+f’(x0)(x1-x0)+1/2f”(x0)(x1-x0)2+…=0 就不能简化成为： f(x1)=f(x0)+f’(x0)(x1-x0) =0 第三十七页，共七十页，2022年，8月28日 * 第一章 代数方程的计算机方法 也就不能有： 存在。 牛顿法的好处在于，不用对原函数f(x)的代数方程进行迭代变换，所用的固定公式简单。所以，用牛顿法进行编程时，编程也简单，这可从图5的流程图中看出： 第三十八页，共七十页，2022年，8月28日 * 第一章 代数方程的计算机方法 选择初值xn=x0 计算Xn+1和f(Xn+1) Xn+1=x0 ? f(xn+1)充分小？ 停止 Y N 图5牛顿法的计算机解法流程图 第三十九页，共七十页，2022年，8月28日 * 第一章 代数方程的计算机方法 第四十页，共七十页，2022年，8月28日 * 第一章 代数方程的计算机方法 K Xk K Xk 0 2.0 3 1.325801345 1