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§4?3 線性規劃 ( (甲)解二元一次不等式 所謂的二元一次不等式是指 ax +by +c(, ?,?)0 這種形式的不等式。求二元一次不等式 ax +by +c(, ?,?)0 的解 如何判別兩點在一直線的同側或異側？ 原理： 設 L：px +qy +r=0，P( x1,y1)、Q(x2,y2)， 若 P、Q 兩點在直線 L 的異側，則 (px 1+qy1+r)(px 2+qy2+r)0 。 若 P、Q 兩點在直線 L 的同側，則 (px 1+qy1+r)(px 2+qy2+r)0 。 [證明]： PQ 與直線交於 R( ?P,?)L PQ 與直線交於 R( ?P,?) L R Q RQ設PR =m，根據分點公式，可得 RQ ?=x1+mx2 ?= 1+m y1+my2 ,?=1+ ,?= 因為 R( ?,?)在直線 L 上 ?p( x1+mx 1+m 2)+q( y1+my 1+m 2)+r=0 ?(px +qy +r)+m(px +qy +r)=0 1 1 2 2 ?m=?(px1+qy1+r)0 P(px2+qy 2+r) P ?(px +qy +r)(px +qy +r)0 1 1 2 2 設在直線 PQ 上取一點 R， 使得 R( ?,?)分別與 P、Q 落在直線 L 異側 Q 根據(a) 的證明可得 L 1(p?+q?+r)( px +qy 1 1 +r)0 且(p?+q?+r)( px 2+qy 2+r)0 ?(px +qy +r)(px 1 1 2+qy 2+r)0 。 R如何找出二元一次不等式的解？ R 例子一：請在座標平面上畫出滿足 x+2 y?40 的點(x,y)所形成的區域？ [解法一]： y如右圖，考慮鉛直線 x=x0，它與 x+2 y?4=0 y 4?x 2的交點為 A(x0, 2 0)，又在 A 點正下方設 B(x0,y) 2 4?x  A ( x ,4 ? x 0) 0很顯然 y 2 0 ?x +2 y?40 0 0 (0 ,2 ) 因此 B(x0,y)滿足 x+2 y?40 。 B ( x 0 ,y ) 換句話說，鉛直線上落在 A 點下方的所有點 (x,y)均滿足 x+2 y?40 。現在讓 x=x0 作變動它會通過所有 x+2 y?40 的解(x,y)， 因此可以得到，滿足 x+2 y?40 的點(x,y)形成的 ~4 ?3?1~ ( x 0 ,0 ) O (4 ,0 ) x 圖形區域是直線 x+2y?4=0 的下方區域。 [解法二]： 利用判別兩點在直線的同側與異側的條件，可以先代一個已知點 A(0,0) 顯然(0,0) 是 x+2 y?40 的解，因此與 A(0,0) 同側的點都是 x+2 y?40 的解，而與A(0,0) 異側的點都不是 x+2y?40 的解，因此 x+2 y?40 的解(x,y)所形成的區域是與(0,0) 同側的點所成的圖形，因此是直線 x+2y?4=0 的下方區域。 結論：設 L：px +qy +r=0 若 P、Q 兩點在直線 L 的異側，則 (px 1+qy1+r)(px 2+qy2+r)0 。若 P、Q 兩點在直線 L 的同側，則 (px 1+qy1+r)(px 2+qy2+r)0 。 設直線 L 將座標平面分成兩個半平面 H1、H2。設(x0,y0)?H1 且 px0+qy 0+r0 ， 則對於任意點 (x,y)?H1 恆有 px +qy +r0，而對於任意點 (x,y)?H2，恆有 px +qy +r0。 ? [例題1] (1)已知二定點 P(3,1)、Q(?4,6)，若PQ與直線 3x?2y+k=0 相交， 則 k 值的範圍為 。 (2)若點 P(3,1)、Q(?4,6)在直線 3x?2y+k=0 的反側， 則 k 的範圍為 。 Ans：(1)?7?k?24 (2)?7k24 [例題2] 設 A ( 5,6 )，B ( –2,0 )，C ( 1,–2 ) 為坐標平面上的三點 詴以聯立不等式表示?ABC 的內部？ 。 若 P(k,k?1)為?ABC 內部一點，則實數 k 的範圍為 。 ? 6 x ? 7 y ? 12 ? 0 ?Ans：(1) ? 2 x ? y ? 4 ? 0 ? ?? 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 ? ?1 y (2) 5 k3 A B O x C ~4 ?3?2~ ~4 ~4 ?3? PAGE 10~ [例題3] 若 0 ? a ? 1，0 ? b ? 2 且 x = 3a + b，y = a – b 詴求 x，y 所滿足的聯立不等式。 作出(1)所表示的聯立不等式的圖形，並求此圖形所圍成區域的面積。 ?Ans：(1) ? 0 ? x ? y ? 4 ? ? 0 ? x ? 3 y ? 8