数列分析和总结.docx

数列 热点一 等差数列、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前 n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用. 3 【例 1】已知首项为 的等比数列{a }不是递减数列，其前n 项和为 S (n∈N*)，且 2 n n aS3＋a3，S5＋a5，S4＋a4 成等差数列. (1)求数列{ }的通项公式； a n T(2)设 T n 1 S＝ － (n∈N*)，求数列{T S n Sn n  }的最大项的值与最小项的值. 解 (1)设等比数列{a }的公比为 q， n 因为 S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4 成等差数列， 5所以 S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即 4a ＝a3， 5 2 a5 1 于是 q ＝ ＝ . a3 4 3 1 又{a }不是递减数列且 a ＝ ，所以 q＝－ . n 1 2 2 3 ? 1?n－1 故等比数列{a }的通项公式为 a ＝ ×?－ ? n 3 ＝(－1)n－1·2n. n 2 ? 2? ?1 1 ? ＋ ，n为奇数， ? 1?n ? 2n (2)由(1)得 S ＝1－?－ ? ＝ n ? 2? ??1 1 －2n，n为偶数， n当 n 为奇数时，S 随 n 的增大而减小， n 3 所以 1S ≤S ＝ ， n 1 2 1 1 3 2 5 故 0S － ≤S － ＝ － ＝ . n S 1 S 2 3 6 n 1 当 n 为偶数时，Sn 随 n 的增大而增大， 3 所以 ＝S2≤S 1， 4 n 1 1 3 4 7 故 0S － ≥S － ＝ － ＝－ . n S 2 S 4 3 12 n 2 综上，对于 n∈N*，总有－ 7 1 5 ≤S － ≤ . 12 n S 6 n 5 7 所以数列{T }最大项的值为 ，最小项的值为－ . n 6 12 【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口. 5【对点训练】已知数列{a }是公差不为零的等差数列，其前 n 项和为 S ，满足 S 5 n n －2a2＝25，且 a1，a4，a13 恰为等比数列{bn}的前三项. (1)求数列{a }，{b }的通项公式； n n (2)设 T 是数列?? 1 ??的前 n 项和，是否存在 k∈N*，使得等式 1－2T 1 ＝ 成立？ ??n ??a a ? ? 1?? k b n n＋ k 若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)设等差数列{a }的公差为 d(d≠0)， n ??? 5×4 ? 1?5a ＋ 2 d?－2（a1＋d）＝25， 1 ∴?? ? 1??（a ＋3d）2＝a 1 1 （a1 ＋12d）， 1解得 a ＝3，d＝2，∴a ＝2n＋1. 1 n ∵b1＝a1＝3，b2＝a4＝9， ∴等比数列{b }的公比 q＝3，∴b ＝3n. n n (2)不存在.理由如下： 1 1 1? 1 － 1 ? ∵ ＝ aa （2n＋1）（2n＋3 a ＝2?2n＋1 2n＋3?， n n＋1 ） ? ? 1??1 1? ?1 1? ? 1 — 1 ?? ∴T ＝ ?? — ?＋? － ?＋…＋? ?? n 2??3 5? ?5 7? ?2n＋1 2n＋3?? 1?1 1 ? ＝ ?3－ ?， 2? 2n＋3? 2 1 ∴1－2T ＝ ＋ (k∈N*)， k 3 2k＋3 ?2 ＋ ?3易知数列?? 1 ?2 ＋ ?3 k ?? ?? ?2 13 1 1 ?0 1? ? ∴31－2Tk≤15，又b ＝3k∈? k ，3??， 1 ∴不存在 k∈N *，使得等式 1－2T 热点二 数列的通项与求和 ＝ 成立. k b k 数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等. 【例 2】设等差数列{a }的公差为 d，前 n 项和为 S ，等比数列{b }的公比为 q， n n n 已知 b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1)求数列{a }，{b }的通项公式； n n a (2)当 d1 时，记 c ＝ n，求数列{c }的前 n 项和 T . n b n n n 1?10a ＋45d＝100， 1 解 由题意有? ?a1d＝2， 1?2a ＋9d＝20， 即? 1 ?a1d＝2， ?a ＝1， ??a1＝9， 解得? 1 或?