最优化与最优控制补充变分.pptxVIP

最优化与最优控制补充变分第一页，共三十一页，2022年，8月28日变分不等式实例Wardrop平衡配流原则描述如下：在起终点之间所有可供选择的路线中，使用者所利用的各条路线上的出行费用全都相等，而且不大于未被利用路线上的出行费用。满足这一原则的交通状态被定义为 Wardrop平衡状态，上述配流原则又可称为用户平衡配流。 Beckmann采用以下数学形式描述Wardrop平衡状态：，其中 为平衡状态下O-D对之间的出行费用。第二页，共三十一页，2022年，8月28日变分不等式实例在路段费用是流量的严格增函数的假定下，Dafermos（1980）将城市交通网络均衡流问题改写为变分不等式问题，最一般的形式就是：寻找均衡路段流量 ，使得对所有 有其中其中 为路段阻抗向量函数，它是流量的严格增函数， 为路径流量， 为O-D需求量， 代表路段/路径关联矩阵， 代表O-D对/路径关联矩阵。在路段费用是流量的严格增函数的假定下，这个变分不等式有唯一路段解。第三页，共三十一页，2022年，8月28日1.1 变分不等式基本概念变分不等式广泛应用于各种问题的数学建模，主要有以下优点：（1）变分不等式问题给出了包括优化问题、互补问题、方程组问题和不动点理论在内的一些数学问题的一般描述。（ 2）变分不等式问题与等价的优化问题之间的关系是非常重要的，根据其等价的优化问题，可直接得到各种求解变分不等式的算法。变分不等式问题的唯一性证明非常简单。变分不等式问题的几何解释非常直观。第四页，共三十一页，2022年，8月28日现给出变分不等式问题的精确定义：设 为一维实值函数，定义，则称 为一向量值函数。定义3.1有限维变分不等式问题（简称为VIP）就是确定一个向量 ，使得， （2.1）其中 是给定的连续向量值函数， 是非空闭凸集。第五页，共三十一页，2022年，8月28日1.2 与变分不等式相关的数学问题2.2.1 优化问题一般优化问题的特征是：有一个取最小或最大值的目标，同时满足一定的约束。因此，优化问题可描述为：（2.2）其中 是特定的优化目标，为决策变量是可行集。的函数，定理2.1 （最优性条件） 令可微函数，且 ，若么 也是VIP（2.1）的解。反之，当是非空闭凸集 上的连续是优化问题（2.2）的解，那伪凸时成立。第六页，共三十一页，2022年，8月28日定理2.2 如果其雅克比矩阵在 上是连续可微的,且是对称且半正定的，则存在一个实值函数满足优化问题，此时上述变分不等式问题的解 也是下面的最优解。第七页，共三十一页，2022年，8月28日2.2.2 互补问题（Complementarity Problems，简称CP）定义2.2 令 是连续的，互补问题即确定，使得（2.4）（2.5）（2.6）互补问题是定义在非负卦限上由等式和不等式构成的系统。定理2.3 定义在 上的VIP（2.1）和互补问题（2.4）~（2.6）若都有解，则其解相同。第八页，共三十一页，2022年，8月28日2.2.3 方程组（Equation Systems）定义2.3 令确定 ，使得定义在 上，方程组问题指的是。定理2.4 向量 是VIP（2.1）的解，当且仅当 。2.2.4 不动点问题（Fixed Point Problems） 定义2.4 令 连续，不动点问题就是确定得，使（2.12）第九页，共三十一页，2022年，8月28日定理2.5 向量的 ，是VIP（2.1）的解，当且仅当对任意是映射的 不动点，即（2.13）其中是正交投影映射，即（2.14）第十页，共三十一页，2022年，8月28日1.3 变分不等式在交通平衡配流问题中的应用第十一页，共三十一页，2022年，8月28日第十二页，共三十一页，2022年，8月28日第十三页，共三十一页，2022年，8月28日第十四页，共三十一页，2022年，8月28日第十五页，共三十一页，2022年，8月28日2双层规划简介随着人类社会的不断发展，实际问题的规模越来越大，结构越来越复杂，涉及到对问题做出决策的人也越来越多，而且这些决策者各自处于不同的层次上。一般的，高一级决策机构（者）自上而下的对下一级决策机构（者）行使某种控制、引导权，而下一级决策机构（者）在这一前提下，亦可以在其管理职责范围内行使一定的决策权，虽然这种决策权比较起来处于从属的地位。另外，在这种多层次决策系统中，每一级都有自身的目标函数，而越高层机构的决策目标越重要，越权威，越具有全局性，因此最终的决策结果往往是寻求使各层决策机构之间达到某种协调的具体方案。第十六页，共三十一页，2022年，8月28日在这一方案下，既可使最高层决策机构的目标达到 “最优”，也可使作为上级决策的“约束”的较低 层决策机构的目标在从属位置上相应达到“最优”，即下层决策以上层决策变量为参数，