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第 第 PAGE 10 页（共 29 页） 立体几何专题 一．选择题（共 6 小题） 1．L 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），其正视图、侧视图均有一个角为 60°的菱形，俯视图为边长为 1 的 正方形，则该几何体的体积为（ ） A． m3 B．m3C． m3 D． m3 2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为 3，则正视图中的 x=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的体积是，则三视图中圆的半径为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ） A． + π B． + π C． + π D．1+ π 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A．24+π B．24﹣3π C．24﹣π D．24﹣2π 已知四棱锥 P﹣ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥 P﹣ABCD 的四个侧面中的最大面积是（ ） A．6 B．8 C．2 D．3 二．解答题（共 10 小题） 1 1 1 1如图，在三棱柱 ABC﹣A B C 中，AA ⊥底面 ABC 1 1 1 1 ABC=60°． 1证明 AB⊥A C； 1 1 1求异面直线 AB 和 BC 1 1 1求二面角 A﹣A C﹣B 的平面角的余弦值． 1 1如图，在直三棱柱 ABC﹣A G 是 CC 的中点． 1 1B1C1 中，∠BAC=90°，AC=AB=AA ，E 是 BC 的中点， 11求异面直线 AE 与 A C 所成的角； 1 1 1求证 EG⊥A C； 1 求二面角 C﹣AG﹣E 的正切值． 如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E、F 分别是棱 BC，CC1 上的点，CF=AB=2CE， AB：AD：AA1=1：2：4， 求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值； 证明 AF⊥平面 A1ED； 求二面角 A1﹣ED﹣F 的正弦值． 1 1 1 1 1如图，在四棱柱 ABCD﹣A B C D 中，侧棱 AA ⊥底面 ABCD，AB 1 1 1 1 1 AC=AA =2，AD=CD=，且点 M 和 N 分别为 B C 和 D D 的中点． 1 1 1 （Ⅰ）求证：MN∥平面 ABCD 1 1（Ⅱ）求二面角 D ﹣AC﹣B 1 1 11 1（Ⅲ）设 E 为棱 A B 上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为，求线段 A E 的长． 1 1 1 如图，正方形 ABCD 的中心为O，四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF⊥平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点，AB=BE=2． 求证：EG∥平面 ADF； 求二面角 O﹣EF﹣C 的正弦值； 设H 为线段 AF 上的点，且 AH=HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值． 1 11 1 1 1已知在直三棱柱 ABC﹣A B C 中，AB⊥BC，且 AA =2AB=2BC=2，E，M 分别是 1 1 1 1 1 1 （Ⅰ）证明：EM∥平面 ABC； 1 1（Ⅱ）求直线 A E 与平面 AEB 1 1 1（Ⅲ）求二面角 B﹣EM﹣B 的余弦值． 1 如图，在四棱锥 A﹣EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面 AEF⊥平面 EFCB， EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O 为 EF 的中点． （Ⅰ） 求证：AO⊥BE； （Ⅱ） 求二面角 F﹣AE﹣B 的余弦值； （Ⅲ） 若直线 CA 与平面 BEA 所成的角的正弦值为 ，求实数 a 的值． 如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC 为正三角形，边长为 2，AD⊥DC，AD=1， PO 垂直于平面 ABCD 于 O，O 为 AC 的中点，PO=1． 证明 PA⊥BO； 证明 DO∥平面 PAB； 平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值． 如图，在三棱锥 S﹣ABC 中，SA=AB=AC=BC= 求证：SO⊥面 ABC； 求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值； SC，0 为 BC 的中点． 在线段AB 上是否存在一点E，使二面角B﹣SC﹣E 的平面角的余弦值为 ；若存在，求 BE：BA 的值；若不存在，试说明理由． 已知在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为 4 的正方形，△PAD 是正三角形，平面 PAD⊥平面 ABCD，E，F，G 分别是 PA，PB，BC 的中点．