三角形五心及其性质.pdfVIP

.\ 三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形垂心的性质 设△ABC 的三条高为 AD、BE、CF，其中 D、E、F 为垂足，垂 心为 H，角 A、B、谢谢阅读 C 的对边分别为 a、b、c，p=(a+b+c)/2．谢谢阅读 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角 顶点上；钝角三角形的精品文档放心下载 垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的 内心是它旁心三角形的精品文档放心下载 垂心； 3、 垂心 H 关于三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上。精品文档放心下载 4、 △ABC 中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直 角三角形，且 AH•HD=BH•HE=CH•HF。感谢阅读 5、 H、A、B、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的 垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。谢谢阅读 6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH 的外接圆是等圆。精品文档放心下载 7、 在非直角三角形中，过 H 的直线交 AB、AC 所在直线分别于感谢阅读 P、Q，则 AB/AP•tanB+AC/AQ•tanC=tanA+tanB+tanC。精品文档放心下载 8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 谢谢阅读 倍。 .\ 9、设 O，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC， ∠ABH= ∠OBC，∠BCO=∠HCA。精品文档放心下载 10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与 外接圆半径之和的 2 倍。感谢阅读 11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的 内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。 感谢阅读 12、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂 线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。感谢阅读 13、 设锐角△ABC 内有一点 T，那么 T 是垂心的充分必要条 件是 PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。垂心的向径精品文档放心下载 定义 设点 H 为锐角三角形 ABC 的垂心，向量 OH=h，向量 OA=a， 向量OB=b，向量 OC=c，感谢阅读 则 h=(tanA a +tanB b +tanC c)/(tanA+tanB+tanC).感谢阅读 垂心坐标的解析解： 设三个顶点的坐标分别为 (a1，b1)(a2，b2)(a3，b3)，那么垂 心坐标 x=Δx/2/Δ，y=- Δy/2/Δ。精品文档放心下载 其中， Δ=det([x2-x1，x3-x2，y2-y1，y3-y2]); x=det([(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1) ，精品 文档放心下载 y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2)，y3-y2]);谢谢阅读 .\ y=det([x3-x2 ， (y2+y3)*(y3-y2);x3-x1 ， (y3+y1)*(y3-y1)+(x2-x1)*(x1-x3)]);感谢阅读 垂心的向量特征：三角形 ABC 内一点 O，向量 OA•OB=OB•OC=OC•感谢阅读 OA，则点 O 是三角形的垂心 证明 由OA•OB=OB•OC，得 OA•OB-OC•OB=0 (OA-OC)•OB=0 CA•OB=0，即 OB 垂直于 AC 边 同理由 OB•OC=OC•OA，可得 OC 垂直于 AB 边精品文档放心下载 由OA•OB=OC•OA，得 OA 垂直于 BC 边 显然点 O 是三角形