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核心素养测评 二十四
正弦定理、余弦定理的应用举例
(25分钟 50 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)
1.已知A,B 两地间的距离为 10 km,B,C 两地间的距离为 20 km,现测得
∠ABC=120°,则A,C 两地间的距离为 ( )
A.10 km B.10 km
C.10 km D.10 km
【解析】选 D.由余弦定理得,AC =AB +CB -2AB·CB·cos120°
2 2 2
=10 +20 -2×10×20× =700.所以 AC=10 (km).
2 2
2.甲船在岛的正南方A 处,AB=10 千米,甲船以每小时4 千米的速度向正北匀速航行,同时乙船
自B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60°的方向匀速航行,当甲、乙两船相距最近时,它
们所航行的时间是 ( )
A. 小时 B. 小时
C. 小时 D. 小时
【解析】选 A.假设经过 x 小时两船相距最近,甲乙分别行至 C,D,如图所示:
可知 BC=10-4x,
BD=6x,∠CBD=120°,
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由余弦定理可得,
CD =BC +BD -2BC·
2 2 2
BD·cos∠CBD
=(10-4x) +36x +2×(10-4x)×6x×
2 2
=28x -20x+100,所以当 x= 时两船相距最近.
2
3.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取 A,B 两点,从 A,B 两点分别测得建筑物顶端的
仰角为 30°,45°,且 A,B 两点间的距离为 60 m,则该建筑物的高度为 ( )
A.(30+30 )m B.(30+15 )m
C.(15+30 )m D.(15+15 )m
【解析】选 A.在△PAB 中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m,sin 15°
=sin(45°-30°)
=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°= .
由正弦定理得 PB=
=30( + )(m),
所以建筑物的高度为 PBsin 45°=30( + )× =(30+30 )m.
4.已知A 船在灯塔 C 的北偏东 85°方向且 A 到 C 的距离为 2 km,B 船在灯塔 C 的西偏北 25°
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