2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第4讲平面向量“奔驰定理”(含答案).pdfVIP

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2023-07-14 发布于上海
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新高考数学大一轮复习专题：第 4 讲平面向量“奔驰定理” → → → P ABC S PA S PB S PC 定理：如图，已知为△ 内一点，则有 · ＋ · ＋ · ＝0. △PBC △PAC △PAB 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用． → 1→ → 1→ → 1→ A B C P PQ PA QR QB RP RC S S 例 (1)已知点，，，在同一平面内，＝，＝，＝，则 ∶ 等于 3 3 3 △ABC △PBC ( ) A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6 答案 B → 1→ → → 1 → → QR QB PR PQ PB PQ 解析由＝，得－＝ ( － )， 3 3 → 1→ 2→ 1→ 2→ 整理得PR＝ PB＋ PQ＝ PB＋ PA， 3 3 3 9 → 1→ → 1 → → RP RC RP PC PR 由＝，得＝ ( － )， 3 3 → 1→ 1→ 1→ 2→ 整理得PR＝－ PC，∴－ PC＝ PB＋ PA， 2 2 3 9 → → → 整理得 4PA＋6PB＋9PC＝0， S S ∴ ∶ ＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4. △ABC △PBC → → → → → → → |P Q | P Q ABC PA PB PC QA QB QC (2)已知点，在△ 内，＋2 ＋3 ＝2 ＋3 ＋5 ＝0，则等于 ( ) → |A B | 1 1 1 1 1 A. B. C. D. 30 31 32 33 答案 A S S S S S S 解析根据奔驰定理得， ∶ ∶ ＝1∶2∶3， ∶ ∶ ＝2∶3∶5， △PBC △PAC △PAB △QBC △QAC △QAB