第2章地球物理中常用数值解法基本原理.pdfVIP

计算地球物理 第二章 地球物理中常用数值解法 的基本原理 地球物理与信息 物探系 周 辉 2013年 有限元法，实质上就是Ritz-Galerkin法。它 和传统的Ritz-Galerkin法的主要区别在于，它应 用样条函数方法提供了一种选取 “局部基函数”或 “分片多项式空间”的新技巧，从而在很大程度上 克服了Ritz-Galerkin法选取基函数的固有 。 有限元法首先成功地应用于结构力学和固体力 学，以后又用于流体力学、物理学和其它工程科学。 有限元法和差分法一样，已成为求解偏微分方程， 特别是椭圆型偏微分方程的一种有效数值方法。 伽辽金 （Galerkin）法是由俄罗斯数学家伽辽金发明 的一种数值分析方法。应用它可以将求解微分方程问题 （通过方程所对应泛函的变分原理）简化成为线性方程组 的求解问题，从而达到求解微分方程的目的。 伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过 选取有限多项试函数 （又称基函数或形函数），将它们叠 加，再要求结果在求解域内及边界上的 积分 （权函数 为试函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的 线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。 必须 的是，伽辽金法所得到的只是在原求解 域内的一个近似解。 有限元法的基本问题可归纳为： （1）把问题转化成变分形式； （2）选定单元的形状，对求解域作剖分； （3）构造基函数或单元形状函数； （4）形成有限元方程 （Ritz-Galerkin方程）； （5）提供有限元方程的有效解法； （6）收敛性及误差估计。 几个概念 测度：有界开集和有界闭集的测度是区间长度的直接 推广。 E 是有界集 存在常数M ，使对任意的x =(x , x , , x ) 1 2 n ˛E ，都有| xi |£M (i =1,2, , n) . ¥ ¥ * 有界集 E 的外测度—— m E =inf I i , I i E ， inf 表 i =1 i =1 示最左边的意思。 有界集 E 的内测度——有界集 E 所包含的一切有界闭 集的测度的上确界，称为 E 的内测度，记为m E 。 上 * 确界表示最右边的意思。 几个概念 * m (E)=inf{G|E包含于G且G为开集} ，此乃外测度。 m (E)=sup{F|E包含F且F为闭集} ，此乃内度。 * 从外面测，用一个最小的集合来套它，从内部测，用一个最 大的集合来充填它。无论内外力求 缝。 可测集——设 E 是有界点集，当 E 的内测度 m E = E 的外 * * 测度 m E 时，称 E 为 可测集，简称 L 可测集。 可测函数：设f x 是可测集 E